Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.6. Esercizi
e raccogliendo i termini
p 2 (x) = 8x 2 − 6x + 1
Esercizio 5.6.3 Trovare il polinomio di grado non superiore a 4 che interpola i dati seguenti: f (0) =
2, f ′ (0) = 7, f ′′ (0) = 18, f (1) = 27 f ′ (1) = 60. Stimare f (0.2) e f ′ (0.2).
Svolgimento
Costruiamo la tabella delle differenze divise tenendo presente che le derivate di una funzione f si possono
avere come limite delle differenze divise:
f [0,0] = f ′ (0) = 7 f [0,0,0] = f ′′ (0)
2!
= 9 f [1,1] = f ′ (1) = 60
Tenendo conto di queste relazioni tra differenze divise e derivate, nella tabella delle differenzi divise,
dobbiamo ripetere per tre volte l’ascissa 0 e due volte l’ascissa 1. Si ottiene:
0 2
f ′ (0)=7
0 2 f ′′ (0)/2=9
0 2
1 27
1 27
f ′ (0)=7
18 − 9
1 − 0 =9
25 − 7
1 − 0 =18 17 − 9
1 − 0 =8
27 − 2
1 − 0 =25 35 − 18
1 − 0 =17
60 − 25
1 − 0 =35
f ′ (1)= 60
Il polinomio è dunque p(x) = 2 + 7x + 9x 2 + 9x 3 + 8x 3 (x − 1), vale a dire
p(x) = 8x 4 + x 3 + 9x 2 + 7x + 2.
La stima di f (0.2) è data da: f (0.2) ≈ p(0.2) = 3.7808.
Per stimare f ′ (0.2) dobbiamo prima calcolare la derivata prima di p. Si ha
p ′ (x) = 32x 3 + 3x 2 + 18x + 7,
da cui f ′ (0.2) ≈ p ′ (0.2) = 12.056.
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