Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. INTERPOLAZIONE
x i f (x i ) f (·,·) f (·,·,·) f (·,·,·,·)
0 1
0.1 0.48
0.48 − 1
= −5.2
0.1
0.8 1.32
1.32 − 0.48
= 1.2
0.7
1.2 + 5.2
= 8
0.8
1.2 5.32
5.32 − 1.32
= 10
0.4
10 − 1.2
= 8
1.1
8 − 8
1.2 = 0
(a) La tabella delle differenza divise è:
(b) I polinomi di Newton di grado 0,1,2 e 3 sono:
p 0 (x) = 1
p 1 (x) = 1 − 5.2x
p 2 (x) = 1 − 5.2x + 8x(x − 0.1) = 8x 2 − 6x + 1
p 3 (x) = 1 − 5.2x + 8x(x − 0.1) + 0x(x − 0.1)(x − 0.8) = 1 − 5.2x + 8x(x − 0.1) = p 2 (x)
Il polinomio p 3 (x) coincide con p 2 (x) in quanto p 2 (x 3 ) = p 2 (1.2) = f (1.2) = f (x 3 ) cioè il polinomio
di grado 2 interpola non solo i dati (x 0 , f (x 0 )), (x 1 , f (x 1 )) e (x 2 , f (x 2 )) ma anche (x 3 , f (x 3 )).
(c) Per le derivate di p n (x), n = 0,1,2 si ha
p ′ 0 (x) = 0
p 1 ′ (x) = −5.2
p 2 ′ (x) = 16x − 6
La stima di f (0.6) e f ′ (0.6) è:
n p n (0.6) p n ′ (0.6)
0 1 0
1 -2.12 -5.2
2 0.28 3.6
(d) I polimoni di Lagrange per ricavare il polinomio p 2 sono dati considerando i valori x 0 , x 1 e x 2 :
(x − 0.1)(x − 0.8)
L 0 (x) =
(−0.1)(−0.8)
L 1 (x) =
L 2 (x) =
x(x − 0.8)
0.1(0.1 − 0.8) = x2 − 0.8x
−0.07
x(x − 0.1)
0.8(0.8 − 0.1) = x2 − 0.1x
0.56
= x2 − 0.9x + 0.08
0.08
Il polinomio è:
p 2 (x) = 1L 0 (x) + 0.48L 1 (x) + 1.32L 2 (x)
= x2 − 0.9x + 0.08
− 0.48 x2 − 0.8x
+ 1.32 x2 − 0.1x
0.08
0.07
0.56
= 12.5(x 2 − 0.9x + 0.08) − 6.857142857(x 2 − 0.8x) + 2.357142857(x 2 − 0.1x)
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