Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.6. Esercizi
5.6 Esercizi
Esercizio 5.6.1 Sia data la tabella seguente:
x i -1 0 2 3 4
f (x i ) 9 0 0 15 84
(a) Scrivere la tabella delle differenze divise.
(b) Trovare il polinomio interpolatore (con la formula di Newton) di grado non superiore a 4.
Svolgimento
(a) La tabella delle differenza divise è:
x i f (x i ) f (·,·) f (·,·,·) f (·,·,·,·) f (·,·,·,·,·)
-1 9
0 0
0 − 9
0 − (−1) = −9
2 0
3 15
4 84
0 − 0
2 − 0 = 0 0 + 9
2 − (−1) = 3
15 − 0
3 − 2 = 15 15 − 0
3 − 0 = 5 5 − 3
3 − (−1) = 0.5
84 − 15
4 − 3 = 69 69 − 15
4 − 2 = 27 27 − 5
4 − 0 = 11 2
11/2 − 1/2
= 1
4 − (−1)
(b) Il polinomio di Newton di grado 4 che interpola i dati assegnati è dunque (prendendo i valori della
diagonale principale della tabella)
p(x) = 9 − 9(x + 1) + 3(x + 1)x + 0.5(x + 1)x(x − 2) + (x + 1)x(x − 2)(x − 3) =
= x 4 − 3.5x 3 + 3.5x 2 − x
Esercizio 5.6.2 Sia data la tabella seguente:
x i 0 0.1 0.8 1.2
f (x i ) 1 0.48 1.32 5.32
(a) Scrivere la tabella delle differenze divise.
(b) Usando i quattro punti in successione, scrivere i polinomi interpolanti (di Newton) p n (x) di grado
non superiore ad n (con n=0,1,2,3); commentare il risultato.
(c) Usando p n (x) stimare, per ogni n, f (0.6) e f ′ (0.6).
(d) scrivere il polinomio p 2 (x) con la formula di Lagrange.
Svolgimento
81