Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.5. Interpolazione polinomiale a tratti
Osserviamo che, dalla relazione s ′′
i (x i ) = 2c i si ricava il significato geometrico dei coefficienti c i =
s ′′
i (x i )
. Inoltre, con la posizione c 1 = c m = 0 le equazioni (5.5), per i = 1 e per i = m − 2 si semplificano,
2
rispettivamente, in
2c 2 (h 1 + h 2 ) + c 3 h 2 =3(f [x 2 , x 3 ] − f [x 1 , x 2 ]), (5.6)
c m−2 h m−2 + 2c m−1 (h m−2 + h m−1 ) =3(f [x m−1 , x m ] − f [x m−2 , x m−1 ]), (5.7)
Perciò il sistema da risolvere per trovare i coefficienti c 2 ,c 3 ,...,c m−1 , mettendo insieme le equazioni (5.5),
(5.6),(5.7), è dato da Ac = β dove
⎛
⎞
2(h 1 + h 2 ) h 2 0 ··· 0
h 2 2(h 2 + h 3 ) h 3 0
.
0 h 3 2(h 3 + h 4 ) h 4 ...
A =
. 0
.. . .. . .. 0
⎜
⎝
⎟
. h m−3 2(h m−3 + h m−2 ) h m−2
⎠
0 ··· 0 h m−2 2(h m−2 + h m−1 )
⎛ ⎞
c 2
c 3
c =
⎜
⎝
⎟
. ⎠
c m−1
⎛
⎞
3(f [x 2 , x 3 ] − f [x 1 , x 2 ])
3(f [x 3 , x 4 ] − f [x 2 , x 3 ])
β =
⎜
⎝
⎟
.
⎠
3(f [x m−1 , x m ] − f [x m−2 , x m−1 ])
Una volta ricavati i coefficienti c i , usando le equazioni (5.3) e (5.4), per i = 1,...,m − 1, si trovano tutti i
coefficienti delle cubiche s i .
Ricapitolando, per trovare i coefficienti delle spline cubiche naturali si deve:
1. risolvere il sistema Ac = ψ che, risolto, fornisce i coefficienti c 2 ,c 3 ,...,c m−1
delle spline;
2. aggiungere al vettore c, i valori c 1 = c m = 0
3. applicare, per i = 1,...,m − 1 le relazioni
a i = y i
b i = f [x i , x i+1 ] − (2c i + c i+1 )h i
3
d i = c i+1 − c i
3h i
5.5.3 Curve parametriche
Supponiamo di avere un insieme di punti in cui le ascisse possono ripetersi e in cui si vuole che i punti
vengano messi insieme per formare una particolare curva. In Figura 5.11 vediamo un esempio di punti e
di curva che vogliamo ottenere: in questo caso andiamo a unire i punti nell’ordine considerato mediante
segmenti di retta. Questa curva, tuttavia, non può essere espressa come funzione di x o di y perchè non è una
funzione (ad ogni valore di x non corrisponde un solo valore sull’asse delle ordinate, come deve accadere
per funzioni del tipo y = f (x)). Ci troviamo di fronte ad un esempio di curva. Possiamo pensare alla curva
come il percorso di una particella che si muove in funzione del tempo t e, di conseguenza, le coordinate della
particella sono funzioni di t (x = x(t), y = y(t)). Abbiamo le cosiddette equazioni parametriche di una curva.
79