Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. INTERPOLAZIONE
Dalla relazione s ′′
i (x i+1) = s ′′
i+1 (x i+1), i = 1,2,...,m − 2 ricaviamo
2c i + 6d i h i = 2c i+1 , i = 1,2,...,m − 2
che si semplifica in
c i + 3d i h i = c i+1 , i = 1,2,...,m − 2
Da quest’ultima relazione otteniamo
d i = c i+1 − c i
3h i
, i = 1,2,...,m − 2 (5.3)
Adesso i coefficienti d i sono in funzione dei coefficienti c i . Sostituiamo il valore di d i appena ricavato
nell’equazione (5.1) e ricaviamo b i in funzione dei coefficienti c i . abbiamo
y i + b i h i + c i h 2 i + d i h 3 i = y i+1
b i h i + c i h 2 i + ( c i+1 − c i
)h 3 i
3h = y i+1 − y i
i
dividiamo tutto per h i e per compattare i termini utlizziamo le differenze divise dove servono
b i + c i h i + ( c i+1 − c i
3
)h i = f [x i , x i+1 ]
Otteniamo, per b i , la relazione
b i = f [x i , x i+1 ] − (2c i + c i+1 )h i
3
Sostituiamo ora i valori per b i e per d i nell’equazione (5.2):
f [x i , x i+1 ] − (2c i + c i+1 )h i
3
, i = 1,...,m − 1 (5.4)
b i + 2c i h i + 3d i h 2 i = b i+1, i = 1,2,...,m − 2
+ 2c i h i + 3 c i+1 − c i
h 2 i
3h = f [x i+1, x i+2 ] − (2c i+1 + c i+2 )h i+1
i 3
raccogliendo i termini in h i a sinistra
f [x i , x i+1 ] + (c i + 2c i+1 )h i
= f [x i+1 , x i+2 ] − (2c i+1 + c i+2 )h i+1
3
3
moltiplichiamo ambo i membri per 3 e portiamo le differenze divise a destra
c i h i + 2c i+1 (h i + h i+1 ) + c i+2 h i+1 = 3(f [x i+1 , x i+2 ] − f [x i , x i+1 ]), i = 1,...,m − 2 (5.5)
Abbiamo adesso un sistema di m − 2 equazioni, ma le incognite c i che abbiamo introdotto sono m:
c 1 ,c 2 ,...,c m . Aggiungiamo, allora, le condizioni per le spline naturali: deve essere s
1 ′′(x
1) = s
m−1 ′′ (x m) = 0.
Si ha
s ′′
1 (x 1) = 2c 1 = 0
s ′′ m−1 (x m) = 2c m−1 + 6d m−1 h m−1 = 0
da cui c 1 = 0 e, d m−1 = − c m−1
3h m−1
. Di conseguenza, ponendo c m = 0 possiamo estendere all’indice i = m − 1 la
relazione (5.3) per i coefficienti d i : d m−1 = c m − c m−1
3h m−1
.
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