Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.5. Interpolazione polinomiale a tratti
s m−1 in x 2 e in x m−1 rispettivamente: poichè la derivata terza è una costante (stiamo lavorando con polinomi
cubici), questa condizione fa sì che s 1 = s 2 e che s m−2 = s m−1 e, in questo modo, il primo e l’ultimo nodo non
sono attivi.
Nel seguito, tratteremo solamente il caso delle spline cubiche naturali, per la loro semplicità di implementazione.
Da un punto di visto storico, il termine spline deriva da un sottile e flessibile strumento per
disegnare curve, fatto di legno o metallo, utilizzato prima dell’avvento dei computer, soprattutto nell’industria
navale. Per poter passare per determinati punti, la spline era tenuta ferma da alcuni pesi, mentre alle
estremità non aveva costrizioni (quindi derivata seconda nulla, come accade nelle spline naturali). La spline
naturale minimizza l’energia di tensione tra tutte le funzioni che sono costrette a passare per quei punti e con
la stessa continuità.
Figura 5.10: Esempio di interpolazione spline cubica
Passiamo ora a capire come si ricavano i coefficienti incogniti.
Per semplicità poniamo h i = x i+1 − x i , i = 1,...,m − 1: è l’ampiezza del sottointervallo i -simo [x i , x i+1 ].
Dalla relazione di interpolazione s i (x i ) = y i si ricava facilmente
a i = y i , i = 1,2,...,m − 1
Dall’altra relazione di interpolazione s i (x i+1 ) = y i+1 si ricava
a i + b i h i + c i h 2 i + d i h 3 i = y i+1
cioè (sostituendo il valore per a i ):
y i + b i h i + c i h 2 i + d i h 3 i = y i+1, i = 1,2,...,m − 1 (5.1)
Useremo l’equazione (5.1) successivamente.
Per usare le altre relazioni, scriviamo la derivata prima e seconda di s i . Si ha, per i = 1,2,...,m − 1
s ′ i (x) = b i + 2c i (x − x i ) + 3d i (x − x i ) 2
s ′′
i (x) = 2c i + 6d i (x − x i )
A questo punto, dalla relazione s ′ i (x i+1) = s ′ i+1 (x i+1), i = 1,2,...,m − 2 ricaviamo (osserviamo che a destra
dobbiamo valutare s ′ i+1 (x i+1):
b i + 2c i h i + 3d i h 2 i = b i+1, i = 1,2,...,m − 2 (5.2)
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