Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. INTERPOLAZIONE
Figura 5.9: Esempio di interpolazione lineare a tratti
perchè non è abbastanza regolare (c’è discontinuità nelle derivate ai punti di appoggio) e in molte applicazioni,
invece, serve che ci sia continuità anche nelle derivate. Per avere maggiore continuità, vogliamo ad
esempio che la funzione di interpolazione v(x) sia di classe C 1 o C 2 , si deve aumentare il grado del polinomio
s i (x) su ciascun sottointervallo. La scelta più diffusa è quella di usare polinomi cubici. Tra i polinomi cubici
c’è l’interpolazione cubica di Hermite a tratti (che non descriviamo) e l’interpolazione spline cubica (che
vedremo più nei dettagli).
5.5.2 Interpolazione spline cubica
Su ciascun sottointervallo, consideriamo un polinomio di terzo grado (n = 3), da cui la funzione globale
v(x) sarà:
v(x) = s i (x) = a i + b i (x − x i ) + c i (x − x i ) 2 + d i (x − x i ) 3 , x i ≤ x ≤ x i+1 , i = 1,2,...m − 1
Quindi su ciascun sottointervallo abbiamo un polinomio cubico, che dipende da quattro coefficienti
(a i ,b i ,c i ,d i ). Per ora, questi coefficienti sono incogniti, e poichè abbiamo 4 incognite su m − 1 sottointervalli,
abbiamo un totale di 4(m − 1) incognite. Come determinare queste incognite Imponendo non solo le
condizioni di interpolazione (ricordiamo che noi abbiamo non solo le ascisse x i ma anche le ordinate y i e
la condizione di interpolazione si legge come v(x i ) = y i ), ma anche la continuità della derivata prima e della
derivata seconda nei punti di raccordo tra un sottointervallo e il successivo. Abbiamo quindi le seguenti
condizioni da imporre:
s i (x i ) = y i , i = 1,2,...,m − 1
s i (x i+1 ) = y i+1 , i = 1,2,...,m − 1
s ′ i (x i+1) = s ′ i+1 (x i+1), i = 1,2,...,m − 2
s ′′
i (x i+1) = s ′′
i+1 (x i+1), i = 1,2,...,m − 2
Osserviamo che le condizioni di continuità delle derivate prime e seconde le possiamo imporre solo nei
punti interni, e non in x 1 e x m , il primo e l’ultimo punto. Le condizioni che abbiamo appena scritto sono
2(m − 1) + 2(m − 2) = 4(m − 1) − 2. Abbiamo 2 condizioni in meno rispetto alle 4(m − 1) incognite che dobbiamo
determinare! Le due condizioni che mancano vengono imposte su punti finali x 1 e x m e, in base alle
condizioni imposte si hanno le cosiddette spline naturali, complete e not-a-knot. Nelle spline naturali si
richiede s
1 ′′(x
1) = s
m−1 ′′ (x m) = 0. Nelle spline complete, vengono specificati i valori delle derivate prime per
s
1 ′ (x 1) e per s
m−1 ′ (x m). Invece per le spline not-a-knot si richiede la continuità della derivata terza di s 1 e di
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