Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.5. Interpolazione polinomiale a tratti
f (x) = |x| + 1 prendendo 6 punti equidistanti nell’intervallo [−1,1] e il polinomio di interpolazione della
funzione f (x) = e x nello stesso intervallo e con gli stessi punti. Mentre nel caso della funzione f (x) = e x il
polinomio di interpolazione, nell’intervallo dei nodi, si sovrappone alla funzione interpolata, per la funzione
f (x) = |x| + 1 l’errore è ben evidente.
Figura 5.8: Interpolazione della funzione f (x) = |x| + 1 (a sinistra) e della funzione f (x) = e x (a destra) con
n = 5 nell’intervallo [−1,1]
Se, in alcuni casi, la scelta dei nodi, fatta in maniera opportuna, può risolvere determinati problemi che
si incontrano nell’interpolazione, altre volte il polinomio di interpolazione produce risultati comunque non
buoni, indipendentemente dalla scelta dei nodi.
La domanda, allora, è la seguente: come possiamo ridurre il termine dell’errore senza aumentare
il grado n nell’interpolazione e, tuttavia, mantenendo un numero elevato di nodi La risposta viene
dall’interpolazione polinomiale a tratti.
Supponiamo di voler costruire una curva che interpola dei dati che si trovano all’interno di un certo intervallo
[a,b]. Prenderemo dei punti all’interno di questo intervallo, in modo che il primo e l’ultimo punto
coincidano con a e b rispettivamente: a = x 1 < x 2 < ... < x m = b. Chiamiamo questi punti nodi. Come si
può notare, abbiamo cambiato la numerazione dei nodi (non più da x 0 a x n ma da x 1 a x m ) per evitare confusioni
con quanto detto prima sull’interpolazione polinomiale. A ciascun nodo è associato il valore y i da
interpolare. In questo modo abbiamo m nodi in [a,b] e possiamo considerare gli m − 1 sottointervalli dati
da [x 1 , x 2 ], [x 2 , x 3 ],... fino ad arrivare a [x n−1 , x m ] (da cui il generico sottointervallo è dato da [x i , x i+1 ] con
i = 1,2,...,m − 1). Su ciascun sottointervallo andremo a costruire un polinomio di interpolazione di grado
basso (considereremo n = 1 e n = 3), che chiamamo s i (x). La funzione di interpolazione globale sarà una
curva v(x) continua (in alcuni casi anche di classe C 1 o C 2 ) che soddisfa la relazione
v(x) = s i (x), x i ≤ x ≤ x i+1 ,i = 1,2,...,m − 1.
Ci sono diversi tipi di interpolazione polinomiale a tratti.
l’interpolazione lineare a tratti e le spline cubiche.
Noi ne consideriamo solamente due:
5.5.1 Interpolazione lineare a tratti
Il caso più semplice da considerare è prendere, su ciascun sottointervallo [x i , x i+1 ] un polinomio di interpolazione
lineare (grado n = 1), quindi una retta. Allora la funzione v(x) sarà continua (ma non avrà le
derivate continue) in tutto l’intervallo.
Nell’intervallo [x i , x i+1 ], il polinomio di interpolazione s i (x) si può costruire facilmente applicando, ad
esempio, la formula delle differenze divise di Newton, da cui s i (x) = y i + f [x i , x i+1 ](x − x i ).
Globalmente avremo v(x) tale che
v(x) = s i (x) = y i + f [x i , x i+1 ](x − x i ), x i ≤ x ≤ x i+1 , i = 1,2,...,m − 1.
Un esempio di interpolazione lineare a tratti si ha in Figura 5.9. Il grande vantaggio di usare questo tipo
di interpolazione è la sua semplicità e facilità. Tuttavia spesso questo tipo di interpolazione non è sufficiente
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