Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.4. Considerazioni sull’interpolazione polinomiale
che solo in un sottointervallo di [−5,5] al crescere di n, i polinomi convergono alla funzione. Agli estremi
dell’intervallo [−5,5] si hanno oscillazioni che aumentano sempre più al crescere di n. Infatti in Figura 5.5
(a sinistra) non si riesce più a distinguere il profilo della funzione di Runge perchè il polinomio di interpolazione
di grado 16 ha delle oscillazioni molto alte. Tuttavia, se restringiamo questo grafico in un intorno
dell’origine, possiamo vedere come il polinomio p 16 si avvicini bene alla funzione – si veda la Figura 5.5 (a
destra)! L’esempio di Runge è utile per capire che la scelta dei nodi equidistanti non si rivela sempre la scel-
Figura 5.5: Funzione di Runge e polinomio interpolante di grado 16 su tutto l’intervallo [−5,5] (a sinistra) e in
un sottointervallo (a destra)
ta giusta e che occorrono altre strategie nella scelta dei nodi per ottenere migliori risultati. Nell’esempio di
Runge, infatti, il rapporto f (n+1) (ξ(x))
, che compare nella formula dell’errore, cresce, al crescere di n, agli
(n + 1)!
estremi dell’intervallo di interpolazione, perciò aumentando il grado del polinomio di interpolazione, aumenta
l’errore! Per indagare ulteriormente su questo problema, si rimanda alla letteratura specializzata del
settore.
5.4.2 Malcondizionamento nell’interpolazione con funzioni base monomiali
All’inizio di questo Capitolo, abbiamo introdotto il polinomio di interpolazione mediante funzioni base
monomiali: il problema dell’interpolazione veniva risolto mediante un sistema lineare la cui matrice, di
Vandermonde, è malcondizionata.
Vediamo di capire questo malcondizionamento mediante un esempio. Si voglia studiare l’interpolazione
dei seguenti dati
x i 1010.5 1011.5 1012.5 1013 1014 1015
y i 4 2.5 2.5 2 2 0
Confrontando i vari algoritmi di interpolazione, osserveremo che gli algoritmi di Lagrange e delle differenze
divise di Newton danno buoni risultati. Al contrario, il metodo che porta alla costruzione della matrice
di Vandermonde dà risultati disastrosi, come si può vedere in Figura 5.6. Eppure, dal punto di vista teorico i
risultati dovrebbero essere identici.
Perchè si hanno questi risultati Bisogna tener conto di tre aspetti: il calcolo della matrice di Vandermonde;
la soluzione del sistema lineare per ricavare i coefficienti del polinomio con funzioni base monomiali; il
calcolo dei valori del polinomio.
La matrice di Vandermonde consiste di colonne che crescono di colonna in colonna - 1, x i , x 2 i , x3 i , ...,
x 5 i . Per questo caso test, si va da 1 a elementi dell’ordine di 1015 . La matrice è molto mal condizionata.
Perciò la soluzione del sistema lineare non può dare risultati affidabili e il vettore che fornisce i coefficienti del
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