Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. INTERPOLAZIONE
il polinomio interpolatore è unico (fissate le coppie di dati del problema), anche l’errore che si commette è lo
stesso, qualunque sia la strategia utilizzata per arrivare ad esso. Quindi possiamo eguagliare l’errore trovato
utilizzando i polinomi di Lagrange con l’errore trovato nella rappresentazione di Newton, ottenendo:
f (n+1) (ξ(x)) n∏
n∏
(x − x i ) = f [x 0 , x 1 ,..., x n , x] (x − x i )
(n + 1)!
i=0
5.4 Considerazioni sull’interpolazione polinomiale
5.4.1 Fenomeno di Runge
i=0
Fenomeno di
Runge
Data una funzione f , si pensa che il polinomio di interpolazione possa approssimare bene la funzione,
soprattutto se si aumenta il numero dei punti di appoggio. In realtà questo non è sempre vero e un semplice
e famoso esempio ce lo fa capire. Sia data la funzione di Runge 7 1
f (x) = e consideriamo il polino-
1 + x2 mio di interpolazione di questa funzione per valori crescenti di n prendendo punti di appoggio equidistanti
nell’intervallo [−5,5]. Partiamo da n + 1 = 2 con i punti equidistanti x 0 = −5, x 1 = 0 e x 2 = 5. Si ha la tabella
x i −5 0 5
y i = f (x i ) 3.846154e − 2 1. 3.846154e − 2
Costruiamo quindi il polinomio di interpolazione p 2 (x) (utilizzando l’approccio di Lagrange o di Newton, i
risultati non cambiano). Raddoppiamo il numero dei punti aggiungendo un punto tra x 0 e x 1 e uno tra x 1 e
Figura 5.4: Funzione di Runge e polinomi interpolanti di grado 2, 4 e 8.
x 2 . Abbiamo n + 1 = 5 e i valori della tabella
x i −5 −2.5 0 2.5 5
y i = f (x i ) 3.846154e − 2 1.379310e − 1 1. 1.379310e − 1 3.846154e − 2
Con lo stesso procedimento, costruiamo i polinomi di interpolazione di grado 8 e 16. In Figura 5.4 sono riportati
i grafici della funzione di Runge (in nero) e dei polinomi interpolanti di grado 2, 4 e 8. Si può osservare
7 Carl Runge (1856-1927) fu un matematico tedesco. Fu studente di Weierstrass, Kirchhoff, Helmholtz. Iniziò poi a collaborare con
Kronecker e poi si dedicò in particolare allo studio della soluzione numerica di equazioni algebriche e alla spettroscopia.
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