Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.3. Interpolazione polinomiale
Esempio
Esempio 5.3.5 Costruiamo la tabella delle differenze divise per i dati (1,1), (2,3) e (4,3).
x i f [·] f [·,·] f [·,·,·]
1 1
3 − 1
2 − 1 = 2
0 − 2
2 3
4 − 1 = − 2 3
3 − 3
4 − 2 = 0
4 3
Il polinomio p 2 (x) si scrive: p 2 (x) = 1 + 2(x − 1) − 2 (x − 1)(x − 2).
3
Se vogliamo aggiungere altri dati, per esempio, la coppia (5,4), dobbiamo aggiungere una riga alla tabella
della differenza divisa e un termine al polinomio che abbiamo già ricavato per ottenere quello di
grado superiore interpolante tutti i dati che abbiamo a disposizione.
x i f [·] f [·,·] f [·,·,·] f [·,·,·,·]
1 1
3 − 1
2 − 1 = 2
0 − 2
2 3
4 − 1 = − 2 3
1
3 − 3
4 − 2 = 0 3 − −2
3
5 − 1 = 1 4
1 − 0
4 3
5 − 2 = 1 3
4 − 3
5 − 4 = 1
5 4
Il polinomio p 3 (x) è p 3 (x) = p 2 (x) + 1 (x − 1)(x − 2)(x − 4).
4
Il concetto di differenza divisa può essere visto come un’estensione del concetto di derivata di una funzione.
Si ha, infatti, che, per f derivabile, la diffenza divisa del primo ordine f [x 0 , x 1 ] può essere vista come
un rapporto incrementale e quindi, al limite per x 1 → x 0 , si ha f ′ (x 0 ).
La differenza divisa k-sima e la derivata k-sima di f sono legate tra loro. Si può provare, infatti, per k ≥ 1
che vale la relazione
f [x 0 , x 1 ,..., x k ] = f (k) (ξ)
k!
dove ξ è un punto appartente all’interno dell’intervallo individuato dagli estremi di x 0 ,..., x k . Quando i punti
coincidono, si ha
f [ x 0,x 0 ,...,x 0
} {{ }
] = f (k) (x 0 )
k!
k+1 volte
Questa formula serve per calcolare il polinomio di interpolazione che interpola non solo una certa funzione
f ma anche le sue derivate in alcuni punti assegnati (si veda l’esercizio 5.6.3 a fine Capitolo).
Se al polinomio p n (x) aggiungiamo la coppia di dati (x, f (x)) si ha p n+1 (x) = f (x) = p n (x) +
f [x 0 , x 1 ,..., x n , x](x − x 0 )(x − x 1 ) · ...(x − x n ). L’ultima differenza divisa non si può calcolare, poichè dipende
da x (che è la nostra variabile), ma ci è utile per capire quanto vale l’errore che commettiamo nell’approssimare
f (x) mediante il polinomio interpolatore, applicando la rappresentazione di Newton. Inoltre, dato che
Derivata
k-sima della
f
Formula
dell’errore
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