Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. INTERPOLAZIONE
Dati i punti x 0 , x 1 ,..., x n , per indici i e j arbitrari con 0 ≤ i ≤ j ≤ n, si ha
f [x i ] = f (x i )
f [x i ,..., x j ] = f [x i+1,... x j ] − f [x i ,..., x j −1 ]
x j − x i
La formula interpolatoria alle differenze divise di Newton è dunque data da
p n (x) = f [x 0 ] + f [x 0 , x 1 ](x − x 0 ) + f [x 0 , x 1 , x 2 ](x − x 0 )(x − x 1 ) + ...
+ f [x 0 , x 1 ,..., x n ](x − x 0 )(x − x 1 )···(x − x n−1 )
Da un punto di vista computazionale i coefficienti si ricavano mediante la tabella delle differenze divise,
tenendo presente che per calcolare f [x 0 , x 1 ,..., x n ] dobbiamo aver calcolato tutte le differenze divise
f [x j −k ,..., x j ], con 0 ≤ k ≤ j ≤ n.
x i f [·] f [·,·] f [·,·,·] f [·,·,·,·] f [·,·,·,·,·]
x 0 f (x 0 )
f [x 0 , x 1 ] = f [x 1] − f [x 0 ]
x 1 − x 0
x 1 f (x 1 ) f [x 0 , x 1 , x 2 ] =
= f [x 1, x 2 ] − f [x 0 , x 1 ]
x 2 − x 0
f [x 1 , x 2 ] = f [x 2] − f [x 1 ]
x 2 − x 1
f [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] =
= f [x 1,x 2 ,x 3 ]−f [x 0 ,x 1 ,x 2 ]
x 3 −x 0
x 2 f (x 2 ) f [x 1 , x 2 , x 3 ] = f [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] =
= f [x 2, x 3 ] − f [x 1 , x 2 ]
x 3 − x 1
= f [x 1,x 2 ,x 3 ,x 4 ]−f [x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ]
x 4 −x 0
f [x 2 , x 3 ] = f [x 3] − f [x 2 ]
x 3 − x 2
f [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] =
x 3 f (x 3 ) f [x 2 , x 3 , x 4 ] =
= f [x 3, x 4 ] − f [x 2 , x 3 ]
x 4 − x 2
= f [x 2,x 3 ,x 4 ]−f [x 1 ,x 2 ,x 3 ]
x 4 −x 1
.
f [x 3 , x 4 ] = f [x 4] − f [x 3 ]
x 4 − x 3
. ..
x 4 f (x 4 )
.
.
.
.
I coefficienti della diagonale principale sono i coefficienti c j del polinomio interpolatore di Newton.
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