Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.3. Interpolazione polinomiale
In x 1 si ha f (x 1 ) = p 2 (x 1 ) = f (x 0 ) + f [x 0 , x 1 ](x 1 − x 0 ).
In x 2 si ha f (x 2 ) = p 2 (x 2 ) = f (x 0 ) + f [x 0 , x 1 ](x 2 − x 0 ) + c 2 (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 ).
Sottraendo membro a membro la prima equazione dalla seconda si ricava:
Quindi
f (x 2 ) − f (x 1 ) = f [x 0 , x 1 ](x 2 − x 0 − x 1 + x 0 ) + c 2 (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
f (x 2 ) − f (x 1 ) = f [x 0 , x 1 ](x 2 − x 1 ) + c 2 (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
f (x 2 ) − f (x 1 ) − f [x 0 , x 1 ](x 2 − x 1 ) = c 2 (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
f (x 2 ) − f (x 1 )
x 2 − x 1
− f [x 0 , x 1 ] x 2 − x 1
x 2 − x 1
= c 2 (x 2 − x 0 )
Ma f (x 2) − f (x 1 )
x 2 − x 1
f (x 2 ) − f (x 1 )
x 2 − x 1
− f [x 0 , x 1 ] = c 2 (x 2 − x 0 )
= f [x 1 , x 2 ] è la differenza divisa del primo ordine tra x 1 e x 2 da cui
f [x 1 , x 2 ] − f [x 0 , x 1 ] = c 2 (x 2 − x 0 ) =⇒ c 2 = f [x 1, x 2 ] − f [x 0 , x 1 ]
x 2 − x 0
La quantità chiamata c 2 prende il nome di differenza divisa del secondo ordine e si indica con
f [x 0 , x 1 , x 2 ] = f [x 1, x 2 ] − f [x 0 , x 1 ]
x 2 − x 0
.
Facendo le opportune sostituzioni si ricava c 2 = − 4 6 = − 2 3 . Quindi, p 2(x) = f (x 0 ) + f [x 0 , x 1 ](x − x 0 ) +
f [x 0 , x 1 , x 2 ](x − x 0 )(x − x 1 ) Nell’esempio considerato: p 2 (x) = 1 + 2(x − 1) − 2 (x − 1)(x − 2)
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Date le stesse coppie di punti, abbiamo visto come cambia la rappresentazione (usando come funzioni
base i monomi, poi i polinomi di Lagrange e ora la formulazione di Newton) ma il polinomio finale è sempre
lo stesso essendo unico il polinomio interpolatore.
Da questo esempio, si può vedere come la rappresentazione secondo Newton sia di tipo ricorsivo: il polinomio
p 1 (x) = f (x 0 ) + f [x 0 , x 1 ](x − x 0 ) (che si ha arrestandosi ai primi due passi del procedimento appena
effettuato) è un polinomio, in tal caso una retta, che interpola i dati (x 0 , y 0 ), e (x 1 , y 1 ). Il polinomio p 2 (x) è dato
dalla somma di p 1 (x) e del termine f [x 0 , x 1 , x 2 ](x − x 0 )(x − x 1 ). Quindi, una volta determinato il polinomio
p n−1 che interpola i primi n dati, possiamo usare questa rappresentazione per costruire p n che interpola i
dati precedenti cui si aggiunge la coppia (x n , y n ).
Il coefficiente c j del polinomio interpolatore di Newton si chiama differenza divisa di ordine j e viene
indicata con f [x 0 , x 1 ,..., x j ].
Perciò:
f [x 0 ] = c 0 , f [x 0 , x 1 ] = c 1 , ..., f [x 0 , x 1 ,..., x n ] = c n
La notazione utilizzata ci permette di capire anche da quali coppie di punti dipende il coefficiente c j .
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