Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. INTERPOLAZIONE
Abbiamo quindi una formula per l’errore, detta anche formula del resto. Il resto normalmente è incognito
ma se conosciamo la f e una maggiorazione della f (n+1) , allora possiamo maggiorare il resto.
Allo stesso modo, possiamo limitare l’errore di interpolazione se troviamo un limite superiore per |F (x)|.
Differenze
divise e
formula di
Newton
5.3.4 Differenze divise e formula di Newton
Uno dei punti forti della rappresentazione di Lagrange è che se alcuni dati cambiano (ad esempio il valore
di y j per un certo j ) allora il cambiamento è immediatamente visibile nell’intero polinomio di interpolazione.
Uno dei punti deboli, invece, è la procedura per valutare p n (x). Con la formula di Newton abbiamo un utile
compromesso.
Le funzioni base che ora consideriamo sono
j∏
−1
φ j (x) = (x − x i ) j = 0,1,...,n
i=0
Quindi vogliamo scrivere il polinomio di interpolazione come:
p(x) = c 0 + c 1 (x − x 0 ) + c 2 (x − x 0 )(x − x 1 ) + ... + c n (x − x 0 )(x − x 1 ) · ...(x − x n−1 )
dove c 0 , c 1 ...c n sono delle costanti da definire in modo opportuno.
Esempio
Esempio 5.3.4 Consideriamo sempre le tre coppie di punti degli esempi precedenti, (1,1), (2,3) e (4,3).
Per costruire p 2 (x) abbiamo bisogno di φ 0 , φ 1 e φ 2 :
φ 0 (x) = 1
φ 1 (x) = (x − x 0 ) = (x − 1)
φ 2 (x) = (x − x 0 )(x − x 1 ) = (x − 1)(x − 2)
La condizione di interpolazione in x 0 = 1 porta a:
f (x 0 ) = 1 = p 2 (x 0 ) = p 2 (1) = c 0 φ 0 (1) + c 1 φ 1 (1) + c 2 φ 2 (1) = c 0 · 1 + c 1 · 0 + c 2 · 0
Quindi c 1 = 1 = f (x 0 ).
In x 1 = 2 abbiamo:
f (x 1 ) = 3 = p 2 (x 1 ) = p 2 (3) = f (x 0 ) + c 1 φ 1 (2) + c 2 φ 2 (2) = f (x 0 ) + c 1 · 1 + c 2 · 0
Ricaviamo quindi c 1 = f (x 1) − f (x 0 )
= 3 − 1 = 2. Chiamiamo questa quantità differenza divisa del
x 1 − x 0 2 − 1
primo ordine tra x 0 e x 1 e la indichiamo con f [x 0 , x 1 ]. Quindi
Infine,
f [x 0 , x 1 ] = f (x 1) − f (x 0 )
x 1 − x 0
f (x 2 ) = 3 = p 2 (x 2 ) = p 2 (4) = f (x 0 ) + f [x 0 , x 1 ]φ 1 (4) + c 2 φ 2 (4)
= f (x 0 ) + f [x 0 , x 1 ](4 − 1) + c 2 (4 − 1)(4 − 2)
Per ottenere una formula per c 2 che abbia carattere generale, riscriviamo l’equazione precedente
utilizzando i simboli x 0 , x 1 , x 2 per le ascisse.
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