Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.3. Interpolazione polinomiale
Figura 5.3: Polinomi di Lagrange L 0 (x), L 1 (x), L 2 (x), con x 0 = 1, x 1 = 2, x 2 = 4.
Proviamo questo risultato introducendo il polinomio F (x) di grado n +1 che si annulla
nelle n + 1 ascisse dei dati assegnati.
F (x) =
n∏
(x − x k )
k=0
Consideriamo, inoltre, un punto t distinto dai punti di appoggio e compreso nell’intervallo
I individuato dai valori minimo e massimo delle ascisse dei punti di
appoggio.
f (t) − p(t)
Definiamo la quantità S che dipende da t, data da S = e la funzione G(x) = f (x) − p(x) −
F (t)
SF (x).
La funzione G si annulla non solo negli n +1 punti d’appoggio poichè G(x i ) = f (x i )− p(x i )−SF (x i ) = 0
per i = 0,...,n ma anche in t a causa di come è stato definito S. Si annulla, quindi, in n + 2 punti.
Per il teorema di Rolle, la derivata prima si annulla n+1 volte in I . Applicando ripetutamente il teorema
di Rolle sulle derivate successive, si arriva alla derivata n +1-sima di G, che si annulla almeno 1 volta in
I . Sia ξ il punto in cui G (n+1) (ξ) = 0. Ma a
G (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) − S(n + 1)!
Si ha perciò:
f (n+1) (ξ) − S(n + 1)! = 0
ovvero
f (t) − p(t)
F (t)
= S = f (n+1) (ξ)
(n + 1)!
Considerando, ora, x al posto di t, e scrivendo ξ come funzione di x (in quanto il valore di ξ dipende
da x) e scrivendo in forma estesa il polinomio F (x), otteniamo
f (x) − p(x) = f (n+1) (ξ(x))
(n + 1)!
n∏
(x − x i )
i=0
a La derivata n + 1-sima di un polinomio di grado n è una quantità nulla, mentre la derivata n + 1-sima di un polinomio di
grado n + 1, quale è F (x), vale (n + 1)!.
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