Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. INTERPOLAZIONE
Allora il polinomio p n (x) = ∑ n
j =0 L j (x) · y j è tale che p n (x i ) = y i cioè soddisfa la condizione di
interpolazione, per ogni i = 0,...,n.
I polinomi di Lagrange sono definiti dalla relazione: 6
L j (x) =
n∏
k=0
k≠j
(x − x k )
(x j − x k )
In forma estesa abbiamo
L j (x) = (x − x 0)···(x − x j −1 )(x − x j +1 )···(x − x n )
(x j − x 0 )···(x j − x j −1 )(x j − x j +1 )···(x j − x n ) = n∏
k=0
k≠j
x − x k
x j − x k
Esempio
Esempio 5.3.3 Siano date le tre coppie di punti dell’esempio precedente (1,1), (2,3), (4,3). I polinomi di
Lagrange sono:
(x − 2)(x − 4)
L 0 (x) =
(1 − 2)(1 − 4)
(x − 1)(x − 4)
L 1 (x) =
(2 − 1)(2 − 4)
(x − 1)(x − 2)
L 2 (x) =
(4 − 1)(4 − 2)
=
(x − 2)(x − 4)
3
= −
(x − 1)(x − 4)
2
=
(x − 1)(x − 2)
6
Il polinomio si scrive, quindi, come
p 2 (x) = L 0 (x) · 1 + L 1 (x) · 3 + L 2 (x) · 3 = 1 3 (x − 2)(x − 4) − 3 2 (x − 1)(x − 4) + 3 (x − 1)(x − 2)
6
Raccogliendo i termini ritroviamo p 2 (x) = (−2x 2 + 12x − 7)/3, lo stesso polinomio ottenuto con le
funzioni base monomiali, e ciò è dovuto all’unicità del polinomio interpolatore.
5.3.3 Formula dell’errore
Formula
dell’errore Supponiamo, ora, che le ordinate y i siano i valori di una funzione f continua in un intervallo [a,b] (e
con le derivate fino all’ordine n + 1 continue) valutata nei punti di appoggio x i . Per ipotesi, i punti x i siano
distinti tra loro. Conosciamo, quindi, una funzione f e di questa funzione vogliamo fare l’interpolazione
sostituendola mediante un polinomio di grado n tale che p(x i ) = f (x i ) = y i , i = 0,...,n.
In queste ipotesi, l’errore che si commette interpolando la funzione f con un polinomio p(x) di grado n
vale
f (x) − p(x) = f (n+1) (ξ(x))
(n + 1)!
n∏
(x − x i )
i=0
dove ξ(x) è un punto, che non conosciamo e che dipende da x, che si trova all’interno dell’intervallo [a,b].
6 Ricordiamo che, dati n valori w 1 , w 2 ,..., w n usiamo la seguente simbologia per indicare la loro somma e il loro prodotto, rispettivamente:
.
n∑
w i = w 1 + w 2 + w 3 + ... + w n
i=1
n∏
w i = w 1 · w 2 · w 3 · ... · w n
i=1
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