Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.3. Interpolazione polinomiale
n sarà costruito risolvendo un sistema lineare di n equazioni nelle n incognite c 0 ,c 1 ,...,c n :
⎧
p n (x 0 ) = y 0 ⇐⇒ c 0 + c 1 x 0 + c 2 x0 2 + ... + c n x0 n = y 0
p ⎪⎨ n (x 1 ) = y 1 ⇐⇒ c 0 + c 1 x 1 + c 2 x1 2 + ... + c n x1 n = y 1
p n (x 2 ) = y 2 ⇐⇒ c 0 + c 1 x 2 + c 2 x2 2 + ... + c n x2 n = y 2
.
⎪⎩
p n (x n ) = y n ⇐⇒ c 0 + c 1 x n + c 2 xn 2 + ... + c n xn n = y n
In forma compatta, sotto forma matriciale 2 le equazioni del sistema si possono scrivere come
⎛
1 x 0 x0 2 ... x n ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0
1 x 1 x1 2 ... x1
n c 0 y 0
1 x 2 x 2 2
... x2
n c 1
⎜
⎝
.
.
⎜
.
⎟⎝
⎟
. ⎠ = y 1
⎜
⎝
⎟
. ⎠
. ⎠
1 x n xn 2 ... xn
n c n y n
La matrice dei coefficienti è una matrice ben nota in letteratura e prende il nome di matrice di Vandermonde.
3 È una matrice con determinante diverso da zero, e quindi il sistema ammette una ed una sola
soluzione. Osserviamo che la prima colonna ha tutti gli elementi uguali a 1, la seconda colonna ha le ascisse
dei punti di appoggio, la terza colonna ha i quadrati di esse, e così via.
Perciò, date n+1 coppie di punti di appoggio (x i , y i ), i = 0,...,n, con ascisse distinte
x i , esiste un unico polinomio interpolatore p(x) di grado al più n tale che p(x i ) = y i ,
i = 0,...,n.
Tuttavia, la matrice di Vandermonde non ha buone proprietà: difatti è una matrice malcondizionata, e
questo lo si osserva al crescere di n in quanto la soluzione del sistema diventa inaccurata 4 , qualunque metodo
venga utilizzato per risolverlo.
Questo approccio ci è servito per dimostrare che il polinomio di interpolazione esiste ed è unico, ma
non è utile nella pratica a causa del malcondizionamento. Sarebbe preferibile, quindi, poter usare funzioni
base diverse dai monomi in modo da evitare il malcondizionamento, avere meno operazioni dal punto di
vista computazionale e poter manipolare in maniera più efficiente le funzioni basi φ i in vista di una loro
applicazione nella differenziazione e integrazione numerica.
5.3.2 Polinomi di Lagrange
Scriviamo il polinomio p(x) con i coefficienti c i uguali alle ordinate dei punti d’appoggio y i , c i ≡ y i :
p(x) = p n (x) = y 0 φ 0 (x) + ... y n φ n (x)
Una base di funzioni che ci permette una simile rappresentazione è data dai polinomi di Lagrange. 5
I polinomi di Lagrange L j (x), per j = 0,1,...,n sono polinomi di grado n che, nei nodi x i , soddisfano la
relazione
{
0 se i ≠ j
L j (x i ) =
1 se i = j
2 Questo argomento verrà approfondito nel Capitolo 7, dove rimandiamo per i dettagli.
3 Alexandre-Theophile Vandermonde, (1735-1796), abbandonò una carriera da violinista per dedicarsi alla matematica quando
aveva 35 anni. Si occupò di vari problemi di algebra, di topologia, calcolo combinatoriale, e teoria dei determinanti.
4 Una matrice A è malcondizionata quando, a piccole variazioni sui coefficienti della matrice, corrispondono grandi variazioni nella
soluzione del sistema lineare Ax = b
5 Joseph Louis Lagrange (1736-1813) nacque a Torino (come Giuseppe Luigi Lagrangia) e si trasferì in Francia, a Parigi, dove divenne
cittadino francese adottando la traduzione francese del suo nome. Matematico e astronomo, diede un importante contributo alla
meccanica classica e celeste e alla teoria dei numeri.
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