Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. INTERPOLAZIONE
Figura 5.2: Interpolazione lineare e quadratica
Esempio
Esempio 5.3.2 Consideriamo adesso un ulteriore coppia di punti per cui i dati che abbiamo sono n+1 =
3 e
x i 1 2 4
y i 1 3 3
Il problema è ora diverso rispetto a quello appena risolto, perchè la terza coppia di punti specifica una
valore y 2 ben diverso da quello predetto da p 1 in x 2 = 4. Difatti p 1 (x 2 ) = 7, nell’esempio precedente,
mentre ora al valore di x 2 = 4 deve corrispondere y 2 = 3.
Cerchiamo il polinomio di grado 2, quindi, della forma p 2 (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 che passa attraverso i
punti dati.
Le condizioni di interpolazione adesso sono:
⎧
⎪⎨ p 2 (x 0 ) = c 0 + 1c 1 + 1c 2 = 1
p 2 (x 1 ) = c 0 + 2c 1 + 4c 2 = 3
⎪⎩
p 2 (x 2 ) = c 0 + 4c 1 + 16c 2 = 3
Abbiamo un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite, la cui soluzione è:
c 0 = − 7 3 , c 1 = 4, c 2 = − 2 3 .
Il polinomio è p 2 (x) = (−2x 2 + 12x − 7)/3. Per x = 3 si ha p 2 (3) = 11 = 3.666666667, valore ben diverso
3
da p 1 (3) = 5. Del resto le curve che abbiamo ottenuto coincidono solo nei punti d’appoggio comuni a
entrambe, una è una retta, l’altra è un polinomio di secondo grado (si veda Figura 5.2).
Generalizzando gli esempi precedenti, date n + 1 coppie di punti, il polinomio di interpolazione di grado
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