Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.3. Interpolazione polinomiale
dove c i , i = 0,1,...,n sono i coefficienti incogniti (o parametri) da determinare in base ai dati in possesso,
mentre φ i sono le funzioni base che assumiamo linearmente indipendenti 1 .
Esempi di interpolazione sono dati dall’interpolazione polinomiale, dall’interpolazione polinomiale a
tratti, dall’interpolazione trigonometrica. Noi ci limitiamo a studiare l’interpolazione polinomiale: date n +1
coppie di punti (x i , y i ), per i = 0,1,...,n, andremo a cercare un polinomio p(x) di grado n per cui p(x i ) = y i .
Parleremo, dunque, di polinomio di interpolazione p(x) (v(x) ≡ p(x)).
Il processo di interpolazione si basa su due stadi:
G costruire la funzione interpolante, cioè determinare i coefficienti c 0 , c 1 ,...,c n per un’assegnata base
φ 0 ,φ 1 ,...,φ n ;
G valutare la funzione interpolante in un assegnato punto x.
Il primo punto è fatto una volta per tutte, una volta fissata la base e noto l’insieme dei punti da interpolare. Il
secondo punto può essere applicato tutte le volte che si vuole valutare la funzione interpolante.
5.3 Interpolazione polinomiale
L’interpolazione polinomiale è il tipo di interpolazione più semplice. I polinomi, infatti, sono facili da
costruire e da valutare, sono facili da sommare e moltiplicare (e il risultato è sempre un polinomio) e sono
altrettanto facili da differenziare e integrare (e il risultato è sempre un polinomio).
Sia p(x) = p n (x) un polinomio di grado n dato da
p n (x) = c 0 + c 1 x + ... + c n x n
Date n + 1 coppie di punti (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), ..., (x n , y n ), vogliamo trovare gli n + 1 coefficienti c 0 ,c 1 ,...c n
tali che p(x i ) = y i , i = 0,...,n.
Ricordiamo che, un polinomio di grado n ha n+1 coefficienti e che, date n+1 coppie di punti, il polinomio
interpolatore sarà di grado n.
Assumiamo, inoltre, che le ascisse delle coppie dei punti siano distinte, cioè x i ≠ x j , per i ≠ j .
5.3.1 Funzioni base monomiali
Utilizziamo come funzioni base i monomi x 0 , x 1 , x 2 ,..., x n .
Esempio
Esempio 5.3.1 Sia n + 1 = 2: abbiamo quindi due coppie di dati
x i 1 2
y i 1 3
Cerchiamo quindi un polinomio di primo grado (una retta) che passi per i punti assegnati, della forma
p(x) = p 1 (x) = c 0 + c 1 x.
Le condizioni di interpolazione diventano:
p 1 (x 0 ) = y 0 ⇐⇒ c 0 + 1c 1 = 1
p 1 (x 1 ) = y 1 ⇐⇒ c 0 + 2c 1 = 3
Abbiamo due equazioni in due incognite c 0 e c 1 . Risolvendo il sistema 2 × 2 otteniamo c 1 = 2 e c 0 = −1,
quindi p 1 (x) = 2x − 1.
1 Le funzioni φ 0 ,φ 1 ,...,φ n si dicono linearmente indipendenti se vale: c 0 φ 0 (x) + ...c n φ n (x) ≡ 0 per ogni x se e solo se tutti i
coefficienti sono nulli c 0 = ... = c n = 0.
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