Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. INTERPOLAZIONE
Anno 1861 1871 1881 1901 1911 1921 1931
Popolazione 22176 27300 28952 32963 35842 39397 41043
Anno 1936 1951 1961 1971 1981 1991 2001
Popolazione 42398 47516 50624 54137 56557 56778 56996
Tabella 5.1: Dati forniti dall’ISTAT, tratti da http://dawinci.istat.it/daWinci/jsp/dawinci.
jsp: popolazione residente dell’Italia ai confini ai confini attuali ai censimenti dal 1861 al 2001. Popolazione
in migliaia.
Figura 5.1: Censimento della popolazione residente in Italia.
In particolare, dato l’insieme dei punti (x i , y i ), i = 0,1,...,n, dove y i è il valore assunto da una funzione f
in x i o il valore di un dato sperimentale, cerchiamo una funzione v(x) che, in maniera ragionevole si addica
all’insieme dei dati. Se i dati sono accurati, ha senso richiedere che la funzione interpoli i dati (cioè passi
esattamente per le coppie di punti): v(x i ) = y i . Nell’approssimazione, invece, si cerca una funzione più
semplice v(x) che sia vicina ad una funzione più complicata f (x) o ad una serie di dati.
5.2 Interpolazione
Una funzione di interpolazione v(x) serve per vari scopi.
G Possiamo usare la v(x) per trovare valori approssimati y in punti x diversi da quelli assegnati
x 0 , x 1 ,... x n . Se x si trova all’interno dell’intervallo che contiene le ascisse dei dati assegnati si parla
di interpolazione. Se invece x si trova all’esterno dell’intervallo si ha estrapolazione. Nell’esempio della
popolazione italiana, si interpolano i dati per stimare la popolazione nel 1975 o nel 1995, si applica
invece un procedimento di estrapolazione se si vuole stimare la popolazione del 2012.
G Se le coppie di dati assegnati si riferiscono ad una funzione f (x), la funzione di interpolazione può
essere utile per approssimare le derivate o gli integrali della f .
Assumiamo che la funzione v di interpolazione sia una combinazione lineare di funzioni base di un
qualche appropriato spazio di funzioni, cioè si possa scrivere come
v(x) = c 0 φ 0 (x) + ... + c n φ n (x)
62