Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

CAPITOLO 5
Interpolazione
Non vi è alcuna incompatibilità fra
l’esatto e il poetico. Il numero è
nell’arte come nella scienza.
L’algebra è nell’astronomia e
l’astronomia confina con la poesia.
L’anima dell’uomo ha tre chiavi che
aprono tutto: la cifra, la lettera, la
nota. Sapere, pensare, sognare.
Victor Hugo
5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3.1 Funzioni base monomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3.2 Polinomi di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.3 Formula dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.4 Differenze divise e formula di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4 Considerazioni sull’interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4.1 Fenomeno di Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4.2 Malcondizionamento nell’interpolazione con funzioni base monomiali . . . . . . . . . . 73
5.5 Interpolazione polinomiale a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5.1 Interpolazione lineare a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5.2 Interpolazione spline cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.5.3 Curve parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1 Introduzione
Il censimento della popolazione italiana, dall’unità d’Italia al 2001, ha visto un incremento della
popolazione, come si può vedere in Tabella 5.1. Gli stessi dati sono riportati in Figura 5.1.
Ci si può chiedere se questi dati possono essere utili (considerandoli tutti o solo una parte) per dare una
ragionevole stima della popolazione nel 1975 o nel 1995 o per predire a quanto ammonterà nel 2015. Per far
ciò, possiamo seguire due strade:
G cercare una funzione che passi esattamente per i dati assegnati (detti anche punti di appoggio): questo
procedimento prende il nome di interpolazione ed è il soggetto di questo Capitolo;
G cercare una funzione che, “in qualche modo” passi vicino ai dati assegnati: si parla di approssimazione
(che vedremo nel prossimo Capitolo).
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