Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4.12. Esercizi
(b) Da f (x) = sin(x) + x − 1 si ha f ′ (x) = cos(x) + 1 e f ′′ (x) = −sin(x). Il metodo di Newton-Raphson è:
x k+1 = x k − sin(x) + x − 1
cos(x) + 1 .
Utilizziamo la notazione M 1 e M 2 per indicare la stima della costante asintotica dell’errore mediante le
formule
M 1 = |x k+1 − x k |
|x k − x k−1 | 2 o M 2 = |f ′′ (x k )|
2|f ′ (x k )|
Partendo da x 0 = 0.1 si ottengono i seguenti valori:
k x k f (x k ) f ′ (x k ) |x k − x k−1 |
0 0.1 -0.80016658E+00 0.19950042E+01 -
1 0.50108517E+00 -0.18537249E-01 0.18770618E+01 0.40108517E+00
2 0.51096084E+00 -0.23565955E-04 0.18722750E+01 0.98756733E-02
3 0.51097343E+00 -0.38737166E-10 - 0.12586802E-04
(c) La stima del fattore di convergenza è dato da M 1 = 0.12905712E+00 o da M 2 = 0.13059731E+00, a
seconda della strada scelta per dare la stima.
Esercizio 4.12.4 Data l’equazione f (x) = ln(x) + x 2 − x = 0,
(a) si provi, anche solo graficamente, che l’equazione ammette l’unica radice ξ = 1 nell’intervallo
[0.7,2.3];
(b) si applichino due iterazioni del metodo dicotomico (o delle bisezioni) a partire dall’intervallo dato,
chiamando con x 0 l’ultimo valore ottenuto con tale metodo;
(c) a partire da x 0 del punto (b) si calcoli l’approssimazione x 1 con il metodo di Newton-Raphson;
(d) a partire da x 0 e x 1 del punto (c) si calcolino le approssimazioni x 2 e x 3 con il metodo della Regula
Falsi;
(e) considerata la radice esatta ξ = 1, si calcoli la costante asintotica di convergenza del metodo della
Regula Falsi.
Svolgimento
(a) Da f (x) = 0 si ricava ln(x) = x − x 2 , per cui graficamente si può vedere che le due curve si intersecano
in un solo punto, che vale ξ = 1.
Analiticamente, invece, la funzione f (x) assume valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo
dato:
f (0.7) = −0.566674943938732
f (2.3) = 3.8229091229351
Inoltre f è continua, quindi ammette almeno una radice nell’intervallo dato. La derivata prima è:
f ′ (x) = 1 x + 2x − 1, che possiamo anche scrivere come f ′ (x) = 1 + 2x2 − x
: numeratore e denominatore
x
sono entrambi sempre positivi nell’intervallo dato, (la parabola 2x 2 − x + 1 ha discriminante negativo
∆ = −7, di conseguenza, per ogni x reale si ha 2x 2 − x + 1 > 0). Da f ′ (x) > 0 per ogni x segue che f è
crescente e, quindi, ammette un’unica radice.
(b) Applichiamo il metodo delle bisezioni a partire dall’intervallo dato (utilizziamo la notazione x s per
indicare l’estremo sinistro dell’intervallo, x d per indicare l’estremo destro dell’intervallo, x c , il punto
medio dell’intervallo considerato):
59