Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. ZERI DI FUNZIONE
k x k f (x k ) f ′ (x k )
0 0.50000000E+00 -0.18294415E+01 0.50000000E+01
1 0.86588831E+00 -0.41401211E+00 0.31964267E+01
2 0.99541173E+00 -0.13775443E-01 0.30046517E+01
3 0.99999643E+00
Dalla tabella sembra che i valori della successione tendano a 1. E, infatti, si vede facilmente che
f (1) = 0 e quindi 1 è il valore che stiamo cercando. Per stimare la costante asintotica dell’errore del
metodo di Newton-Raphson assumendo ξ ≈ x 3 , occorre usare la formula
M ≈ |f ′′ (x 3 )|
2|f ′ (x 3 )|
dove, nel caso specifico, vale f ′ (x) = 2(x − 1) + 3 x e f ′′ (x) = 2 − 3 x 2 .
Usando il valore trovato per x 3 si ricava M ≈ 0.16667004E + 00.
(c) Partendo da x 0 e x 1 del metodo di Newton-Raphson, la Regula Falsi dà:
k x k f (x k )
f (x n ) − f (x n−1 )
x n − x n−1
0 0.50000000E+00 -0.18294415E+01 -
1 0.86588831E+00 -0.41401211E+00 0.38684741E+01
2 0.97291038E+00 -0.81656072E-01 0.31054906E+01
3 0.99920448E+00
Esercizio 4.12.3 Provare, anche solo graficamente, che l’equazione
f (x) = sin(x) + x − 1 = 0
ammette una sola radice ξ nell’intervallo [0,1].
(a) Dire se lo schema del punto fisso con g (x) = arcsin(1 − x) può convergere.
(b) Partendo da x 0 = 0.1 calcolare le approssimazioni x 1 , x 2 e x 3 con lo schema di Newton-Raphson;
(c) Dare una stima del fattore di convergenza.
Svolgimento
Graficamente, da f (x) = 0 si ha sin(x) = 1 − x. Se si studia l’intersezione delle due curve, sin(x) e 1 − x
nell’intervallo [0,1], si può osservare una sola intersezione, cioè una sola radice della f (fare il grafico delle
due funzioni).
Analiticamente, la funzione f (x) assume valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo dato:
f (0) = sin(0) + 0 − 1 = −1
f (1) = sin(1) + 1 − 1 = 0.8414709848
La derivata prima della f è f ′ = cos(x)+1: è funzione continua e sempre positiva nell’intervallo [0,1]. Quindi
f è una funzione crescente e interseca l’asse delle x solo una volta in [0,1], vale a dire ammette un’unica
radice.
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(a) Da f (x) = 0 si ha sin(x) + x − 1 = 0 o, equivalentemente, sin(x) = 1 − x, da cui x = arcsin(1 − x).
Consideriamo perciò lo schema del punto fisso con g (x) data da g (x) = arcsin(1 − x). La derivata di
g (x) è g ′ 1
(x) = √ .
1 − (1 − x)
2
Nell’intervallo [0,1] valgono le seguenti disuguaglianze:
0 ≤ x ≤ 1 =⇒ 0 ≥ −x ≥ −1 =⇒ 1 ≥ 1 − x ≥ 0 =⇒
=⇒ 1 ≥ (1 − x) 2 ≥ 0 =⇒ −1 ≤ −(1 − x) 2 ≤ 0 =⇒ 0 ≤ 1 − (1 − x) 2 ≤ 1 =⇒
√
=⇒ 0 ≤ 1 − (1 − x) 2 1
≤ 1 =⇒ 1 ≤ √
1 − (1 − x)
2
Perciò g ′ (x) è sempre maggiore di 1 e lo schema del punto fisso non può convergere.