Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4.12. Esercizi
Figura 4.9: Esercizio sullo schema di punto fisso
(c)
Per x 0 = 1 si ha
k x k g (x k )
0 1 5
1 5 9
2 9 45
3 45 1809
Per x 0 = 2.5 si ha
k x k g (x k )
0 2.5 2.75
1 2.75 2.8125
2 2.8125 2.84765625
3 2.84765625 2.870864868
Per x 0 = 1 il metodo non converge, mentre per x 0 = 2.5 il metodo converge. La diversità di comportamento
si giustifica graficamente, come si può vedere dalla Figura 4.9, osservando che per x 0 = 1 i
valori ottenuti dallo schema si allontanano sempre più dal punto fisso. Nel secondo caso, al contrario,
i valori si avvicinano con monotonia al punto fisso.
Esercizio 4.12.2 Si vuole risolvere l’equazione f (x) = 0 con f (x) = (x − 1) 2 + 3ln(x), nell’intervallo [0.5,2]
con gli schemi di Newton-Raphson e della Regula Falsi.
(a) Dimostrare esistenza e unicità della soluzione nell’intervallo considerato.
(b) Calcolare le approssimazioni x 1 , x 2 e x 3 con lo schema di Newton-Raphson, partendo da x 0 = 0.5;
(c) Calcolare le approssimazioni x 2 e x 3 con lo schema della Regula-Falsi partendo da x 0 = 0.5 e x 1
calcolato al punto b).
Stimare, inoltre il fattore di convergenza del metodo di Newton-Raphson assumendo ξ ≈ x 3 .
Svolgimento
(a) La funzione ammette valori opposti all’estremo dell’intervallo. Infatti f (0.5) = −1.82944154 e f (2) =
3.07944154. Quindi, per il teorema del valor intermedio, esiste almeno una radice. Inoltre f ′ (x) = 2(x −
1) + 3 x = 2x2 − 2x + 3
è sempre positivo nell’intervallo dato, (la parabola 2x 2 − 2x + 3 ha discriminante
x
negativo e quindi è sempre positiva). Perciò, da f ′ (x) > 0 concludiamo che la f è crescente. Di qui
l’unicità della radice.
(b) Partendo da x 0 = 0.5, il metodo di Newton-Raphson fornisce i seguenti valori:
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