Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. ZERI DI FUNZIONE
Esempio
Esempio 4.11.1 Riprendiamo l’esempio 4.8.1 in cui abbiamo confrontato gli schemi di Newton-
Raphson e della Regula Falsi. Andiamo a rivedere i valori degli scarti e a stimare il valore di p usando la
formula appena scritta.
n d n (N-R) p (N-R) d n (R-F) p (R-F)
1 1.41452687E+00 5.E-02
2 6.29766079E-01 1.24070285E+00
3 1.40647107E-01 1.8526 8.55361810E-01 -0.11581
4 1.03024203E-02 1.7436 1.43968803E-01 4.7913
5 5.75004640E-05 1.9849 6.13774024E-02 0.47845
6 1.79436599E-09 1.9997 7.14459392E-03 2.5226
7 2.10317362E-04 1.6392
8 7.91146198E-07 1.5836
9 9.06448250E-11 1.6254
Osserviamo che per poter iniziare a stimare il valore approssimato ( ) di( p dobbiamo ) avere fatto almeno tre
dn+1 dn
iterazioni in modo da poter applicare la formula p ≈ log /log .
d n d n−1
Dalla tabella, osserviamo che, per il metodo di Newton Raphson, a parte un’iniziale oscillazione, il valore
di p tende a 2. Per il metodo della Regula Falsi invece si vede all’inizio un valore negativo (dovuto alla
scelta dei due valori iniziali x 0 e x 1 ), successivamente ci sono forti oscillazioni, infine, quando si sta
arrivando a convergenza, si hanno i valori di p = 1.6392,1.5836,1.6254. Ricordiamo che in questo caso
p = 1.618 e l’approssimazione finale che otteniamo è abbastanza buona.
Se, all’ultima iterazione, il valore dello scarto fosse zero o molto prossimo a zero (dell’ordine di 10 −16 ,
la precisione di macchina) allora la stima dell’ordine di convergenza non si potrà fare usando questo
valore dello scarto (che altererebbe il risultato finale, dovendo praticamente fare una divisione per zero).
In tal caso ci si ferma alla stima al passo precendente.
4.12 Esercizi
Esercizio 4.12.1 Si vuole risolvere l’equazione x = g (x) con lo schema del punto fisso; sapendo che
g (x) = x 2 − 5x + 9
(a) calcolare analiticamente il valore del punto fisso;
(b) determinare il fattore di convergenza M dello schema del punto fisso;
(c) calcolare le approssimazioni x 1 , x 2 e x 3 partendo prima da x 0 = 1 e poi da x 0 = 2.5 e giustificandone
il diverso comportamento.
Svolgimento
(a) ξ è punto fisso della funzione g se verifica g (ξ) = ξ.
Imponiamo dunque la condizione g (ξ) = ξ. Ricaviamo ξ 2 − 5ξ + 9 = ξ, ovvero ξ 2 − 6ξ + 9 = 0, cioè
(ξ − 3) 2 = 0, da cui ξ = 3 è punto fisso della g .
(b) Il fattore di convergenza è M = g ′ (ξ).
Poichè g ′ (x) = 2x − 5, si ha g ′ (ξ) = g ′ (3) = 1.
Osserviamo che, a priori, non si può dire se lo schema del punto fisso converge o meno proprio
perchè nel punto fisso la derivata prima vale esattamente 1, ma bisogna vedere caso per caso a seconda
del punto iniziale da cui si fa partire il metodo.
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