Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4.11. Osservazioni sull’ordine di convergenza di un metodo iterativo
vale
|x n+1 − ξ|
lim
n→∞ |x n − ξ| p = M
con p ≥ 1 e M numero reale positivo allora p è l’ordine di convergenza e M la costante asintotica del metodo.
Utilizzando gli scarti come approssimazione dell’errore possiamo dire che, se p è l’ordine di convergenza,
allora, al limite per n che tende all’infinito, si ha
|x n+1 − x n |
d n+1
|x n − x n−1 | p → M ovvero (d n ) p → M.
Partendo dall’iterazione 1 (lo scarto d 0 ha un significato fittizio e non lo usiamo) fino ad arrivare
all’iterazione n + 1, abbiamo le seguenti approssimazioni per M:
d 2
d 3
d 4
d n
d n+1
(d 1 ) p ≈ M, (d 2 ) p ≈ M, (d 3 ) p ≈ M, ... (d n−1 ) p ≈ M, (d n ) p ≈ M
Supponiamo di non conoscere quale sia il valore di p. Allora non possiamo andare a calcolare quei rapporti
tra gli scarti che abbiamo appena scritto! Sappiamo però che quei rapporti tendono allo stesso valore di M
(la costante asintotica). Perciò possiamo eguagliarli a due a due in modo da poter avere una relazione che ci
permetta di ricavare p:
Da
d 2
(d 1 ) p ≈ M ≈ d 3
(d 2 ) p =⇒ d 2
(d 1 ) p ≈ d 3
(d 2 ) p
d 3
(d 2 ) p ≈ M ≈ d 4
(d 3 ) p =⇒ d 3
(d 2 ) p ≈ d 4
(d 3 ) p
. . .
d n
(d n−1 ) p ≈ M ≈ d n+1
(d n ) p =⇒ d n
(d n−1 ) p ≈ d n+1
(d n ) p
d 2
(d 1 ) p ≈ d 3
(d 2 ) p
ricaviamo facilmente
d 2
≈ (d 1) p ( ) p
d 3 (d 2 ) p = d1
d 2
e passando ai logaritmi si ha
( ) ( )
d2
d1
log ≈ p log
d 3 d 2
da cui
( )
d2
log
d
p ≈ ( 3
)
d1
log
d 2
Lavorando allo stesso modo sugli altri rapporti che avevamo scritto abbiamo
( )
( )
d3
dn+1
log
log
d
p ≈ ( 4 d
) , ... p ≈ ( n
)
d2
dn
log
log
d 3 d n−1
Man mano che ci stiamo avvicinando a convergenza il valore di p tenderà ad un valore ben preciso, l’ordine
di convergenza del metodo. E, una volta trovato p, possiamo stimare M usando la formula del rapporto tra
gli scarti.
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