Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. ZERI DI FUNZIONE
Abbiamo un’equazione del tipo y = ax + b dove y = log 10 (d n ) e x = n, che rappresenta l’equazione della retta
nel nostro grafico semilogaritmico, e la pendenza della retta vale a = log 10 (M). Dalla pendenza della retta
possiamo dunque risalire al valore della costante asintotica M.
Nel caso in cui p ≠ 1 il discorso si fa più complicato (e non staremo qui ad analizzarlo nei dettagli). Per
esempio, per p = 2, si trova una curva che dipende da 2 n .
Esempio
Esempio 4.10.1 In Figura 4.8, riportiamo un esempio di grafico con i profili di convergenza per i metodi
di Newton-Raphson, secante variabile e punto fisso per trovare lo zero della funzione f (x) = x + ln(x)
(applicando lo schema di punto fisso alla funzione g (x) = e −x ).
Figura 4.8: Profili di convergenza a confronto
4.11 Osservazioni sull’ordine di convergenza di un metodo iterativo
Abbiamo visto che, in generale, uno schema iterativo ha un certo ordine di convergenza, ma ci sono delle
eccezioni: ad esempio, il metodo di Newton-Raphson in genere è di ordine p = 2 ma se la radice è multipla
allora il metodo diventa lineare, e se la radice è un punto di flesso non orizzontale il metodo ha convergenza
cubica; analogamente nello schema di punto fisso, se g ′ (ξ) = 0 allora il metodo non è più lineare...
Se non abbiamo sufficienti informazioni sulla radice o sul punto fisso che vogliamo approssimare, come
facciamo a capire qual è l’ordine di convergenza del metodo iterativo Una strada è vedere se l’approssimazione
della costante asintotica usando gli scarti o la formula teorica che vale per l’ordine p che ci aspettiamo
abbia senso (cioè non tenda nè a zero nè a infinito ma ad un valore limite ben preciso – ciò che abbiamo
fatto negli esempi precedenti, si veda l’esempio 4.8.1). In tal casoa l’ordine p è effettivamente quello e le
formule utilizzate ci danno una stima della costante asintotica. Ma se l’approssimazione della costante asintotica
fatta in questa maniera non va bene, c’è una strada più pratica da seguire per capire qual è l’ordine di
convergenza del metodo Riprendiamo la definizione di ordine di convergenza di uno schema iterativo: se
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