Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. ZERI DI FUNZIONE
Figura 4.7: A sinistra: applicazione del metodo di Newton-Raphson nell’esempio in cui oscilla tra due valori.
A destra: la funzione f (x) = x 5 − 6
Esempio
Esempio 4.8.3 Consideriamo f (x) = x 5 − 6, per la quale f ′ (x) = 5x 4 , il cui grafico è in Figura 4.7 (a destra).
Se partiamo da un punto iniziale prossimo allo zero, poichè la tangente alla f è quasi orizzontale,
non si riesce ad avere convergenza se non dopo molte iterazioni: partendo da x 0 = 0.01 e richiedendo
una tolleranza 10 −8 , sono necessarie 88 iterazioni per arrivare a ξ = 1.430969081115725849. Vediamo in
tabella, come cambia il numero delle iterazioni al variare di x 0 :
x 0 0.05 0.1 0.5 0.8 1.0 1.4 1.5 2. 3. 10. 20. 100.
iterazioni 59 46 18 10 7 4 4 6 8 14 17 24
4.9 Metodo di Newton-Raphson per radici multiple
Definizione 4.9.1 Data un’equazione f (x) = 0, una radice ξ è multipla di molteplicità r se vale: f (ξ) = f ′ (ξ) =
... = f r −1 (ξ) = 0 e f r (ξ) ≠ 0.
Quando si ha una radice multipla, il metodo di Newton-Raphson diventa un metodo del primo ordine in
quanto la formula che lega l’errore al passo n + 1 con l’errore al passo n diventa 3 :
ɛ n+1 = r − 1 ɛ n
r
da cui la costante asintotica è M = r − 1 . Per poter avere un metodo che sia di nuovo a convergenza
r
quadratica, occorre modificare l’algoritmo, ottenendo la formula di Newton-Raphson modificata, nel modo
seguente:
x n+1 = x n − r f (x n)
f ′ (x n )
4.10 Controllo sugli scarti e grafici di convergenza
Da un punto di vista pratico, il controllo per verificare la convergenza o meno della successione x n generata
dallo schema iterativo viene effettuato sullo scarto d n = |x n − x n−1 | piuttosto che sull’errore (assolu-
3 Il procedimento da seguire è del tutto simile a quanto è stato fatto nell’ipotesi in cui f ′ (ξ) ≠ 0. Come esercizio, si consiglia di provare
a ricavare questo risultato.
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