Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4.8. Confronto tra i metodi di Newton-Raphson e la Regula Falsi
Per la Regula Falsi:
n x n f (x n )
f (x n ) − f (x n−1 )
d n d n /d
x n − x n−1
1.618
n−1
0 1.3 -5.41058185E-01
1 1.35 -5.20098358E-01 0.419196552
2 2.590702853065 1.15448972E+00 1.34970922 1.24070285E+00
3 1.735341043061 -2.33640901E-01 1.62285784 8.55361810E-01 0.603386215
4 1.879309845941 -6.98346071E-02 1.13779020 1.43968803E-01 0.185374473
5 1.940687248331 9.19996444E-03 1.28768192 6.13774024E-02 1.412310765
6 1.933542654410 -2.79035921E-03 1.32673746 7.14459392E-03 0.653100215
7 1.933752971771 -1.04570967E-06 1.32176540 2.10317362E-04 0.623935239
8 1.933753762918 1.19824825E-10 1.32191686 7.91146198E-07 0.704441455
9 1.933753762827 -1.00668172E-16 9.06448250E-11 0.676026603
Attraverso gli scarti, abbiamo fatto una stima della costante asintotica dell’errore, considerando che,
al limite per k → ∞, x n → ξ. Le ultime colonne delle tabelle, infatti, valutano i rapporti d n /dn−1 2 e
d n /dn−1 1.618.
Diamo un’ulteriore stima di tali costanti facendo uso della definizione teorica e considerando ξ ≈ x n .
Per il metodo di Newton-Raphson dobbiamo calcolare M = |f ′′ (ξ)|
2|f ′ mentre per la Regula Falsi
(ξ)|
dobbiamo considerare il valore M 0.618 .
Poichè f ′′ (x) = 1/2 + sin(x), abbiamo, per ξ ≈ x 6 (di Newton-Raphson) o, equivalentemente per ξ ≈ x 9
(della Regula Falsi), in pratica ξ ≈ 1.933753762827, f ′ (ξ) = 1.32191743 e f ′′ (ξ) = 1.4348509. Otteniamo
quindi: M ≈ 0.542715784 e M 0.618 ≈ 0.685434221
Esempio
{ x per x ≥ 0
Esempio 4.8.2 Si consideri f (x) =
− . La radice di questa funzione è ξ = 0.
−x per x < 0
⎧
1
⎪⎨
Per la derivata prima, si ha f ′ (x) =
2 per x ≥ 0
x
1
.
⎪⎩
2 per x < 0
−x
Se partiamo da x 0 > 0 abbiamo x 1 = x 0 −
x0
x 1 = x 0 − − −x 0
1
2 −x 0
= x 0 + 2(−x 0 ) = −x 0 .
Il metodo di Newton applicato alla funzione f , diventa quindi:
x n+1 = −x n , n = 0,1,2,...
= x
1 0 − 2x 0 = −x 0 . Se partiamo da x 0 < 0 abbiamo
2 x 0
Qualunque sia il valore iniziale x 0 ≠ 0, si ha x 1 = −x 0 , x 2 = −x 1 = x 0 ... i valori generati dal metodo di
Newton-Raphsono si alternano tra x 0 e −x 0 e non si avrà mai convergenza alla radice ξ = 0.
Questo esempio ci permette di capire meglio il significato di metodo generalmente convergente.
Da un punto di vista pratico occorre prestare molta attenzione anche alla scelta del punto iniziale per il
metodo di Newton-Raphson. Dal momento che la formula richiede una divisione per f ′ (x n ), occorre evitare
di prendere un punto iniziale in cui la f abbia una tangente (e quindi f ′ ) con pendenza vicina allo zero. In tal
caso, infatti, ci si può allontanare dalla radice e il metodo può non convergere.
Quando
Newton-
Raphson dà
risultati
scarsi
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