Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. ZERI DI FUNZIONE
Figura 4.6: Il metodo della Regula Falsi applicato alla funzione f (x) = (x/2) 2 − sin(x) con x 0 = 1.3 e x 1 = 1.35
dove p = 1 + 5
2
ɛ n+1 = M 0.618 ɛ 1.618
n
= 1.618 e A è la costante asitontica del metodo di Newton-Raphson, da cui
4.8 Confronto tra i metodi di Newton-Raphson e la Regula Falsi
Sebbene il metodo di Newton-Raphson abbia ordine di convergenza più elevato della Regula Falsi,
quest’ultimo è computazionalmente più efficiente. Si ha infatti
Metodo p s E
Newton-Raphson 2 2 2 ≈ 1.414
Regula Falsi 1.618 1 1.618
Vediamo ora come applicare i due metodi e le differenze che si hanno.
Esempio
Esempio 4.8.1 Consideriamo la funzione f (x) = 0 con f (x) = (x/2) 2 − sin(x). La derivata prima è
f ′ (x) = (x/2) − cos(x) Consideriamo come x 0 = 1.3 per entrambi i metodi e x 1 = 1.35 per la Regula Falsi.
Come criterio di arresto, consideriamo una tolleranza tol = 1.e −8, cioè andremo avanti con le iterazioni
fino a quando troveremo che lo scarto d n = |x n − x n−1 | sarà minore di tol . Otteniamo i seguenti risultati
per il metodo di Newton-Raphson
n x n f (x n ) f ′ (x n ) d n d n /d
n−1
2
0 1.3 -5.410581854E-01 0.382501171
1 2.714526871831 1.427962127E+00 2.26744846 1.41452687E+00
2 2.084760792766 2.157545986E-01 1.53401376 6.29766079E-01 0.314743565
3 1.944113685369 1.377189572E-02 1.33676314 1.40647107E-01 0.354627390
4 1.933811265085 7.60156095E-05 1.32199993 1.03024203E-02 0.520808008
5 1.933753764621 2.37200355E-09 1.32191743 5.75004640E-05 0.541742396
6 1.933753762827 -1.00668172E-16 1.79436599E-09 0.542710632
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