Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4.7. Il metodo delle secanti
costo computazionale molto elevato. Viceversa, un metodo può avere un basso ordine di convergenza ma
essere anche semplice computazionalmente e, quindi, molto vantaggioso da questo punto di vista.
Si definisce indice di efficienza E dello schema iterativo la quantità
E = p 1/s
dove s indica il numero di volte in cui bisogna calcolare la funzione e la sua derivata prima ad ogni iterazione
e p è l’ordine di convergenza del metodo.
4.7 Il metodo delle secanti
La conoscenza della derivata prima della f per applicare il metodo di Newton-Raphson potrebbe essere
semplice ma a volte potrebbe rivelarsi un’operazione molto costosa e alquanto complicata.
Il metodo delle secanti è una variante del metodo di Newton-Raphson dove, al posto della derivata prima,
si considera una sua approssimazione.
Scriviamo la formula ricorsiva
x n+1 = x n − f (x n)
C n
Per C n = f ′ (x n ) abbiamo la formula di Newton-Raphson, che possiamo anche chiamare della tangente
variabile perchè è il coefficiente angolare della retta tangente a (x n , f (x n )) che interseca l’asse delle x in x n+1 .
Vediamo altre scelte di C n :
G C n = f ′ (x 0 ): il valore di C n è costante e dà vita al metodo della tangente fissa.
G C n = f (x 1) − f (x 0 )
: abbiamo sempre una costante che approssima la derivata f ′ (x 0 ) utilizzando i valori
x 1 − x 0
di x 1 e x 0 . Lo schema è detto della secante fissa.
G C n = f (x n) − f (x n−1 )
. La derivata f ′ (x n ) è approssimata utilizzando il rapporto incrementale della f
x n − x n−1
valutata in x n e x n−1 . Abbiamo il metodo delle secante variabile, che chiameremo nel seguito anche
metodo 2 della Regula Falsi.
In forma estesa, l’iterazione n + 1 della Regula Falsi si scrive come:
x n+1 = x n − f (x n)(x n − x n−1 )
f (x n ) − f (x n−1 )
Notiamo che, per innescare il metodo occorrono due valori iniziali, x 0 e x 1 . Ma è richiesta solo la
valutazione della funzione f a ciascun passo (nessuna conoscenza della derivata prima).
Da un punto di vista geometrico, nel metodo delle secanti il valore x n+1 è dato dall’intercetta sull’asse
delle x della retta passante per x n , f (x n ) e x n−1 , f (x n−1 ). Per quanto riguarda l’accumulo degli errori di arrotondamento,
conviene utilizzare la formula così come è stata scritta in quanto è più sicura rispetto alla forma
compatta in cui vengono raccolti i termini, data da
x n+1 = x n−1 f (x n ) − x n f (x n−1 )
f (x n ) − f (x n−1 )
in quanto in quest’ultima, si può avere il fenomeno della cancellazione numerica per x n ≈ x n−1 e
f (x n )f (x n−1 ) > 0.
Per quanto riguarda l’ordine di convergenza si può dimostrare che si ha convergenza superlineare poichè
vale la relazione
ɛ n+1 = M
p
p + 1 ɛ
p
n
2 Attenzione! In letteratura viene descritto un altro metodo (simile ma non lo stesso) con il nome della Regula Falsi o Falsa Posizione
che genera i valori x n+1 in modo che la radice ξ sia sempre compresa tra le iterazioni successive.
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