Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. ZERI DI FUNZIONE
Esempio
Esempio 4.5.1 Consideriamo l’equazione f (x) = 2x − cos(x) + 1 = 0 che ammette come unica radice
ξ = 0. Poichè f ′ (x) = 2 + sin(x), il metodo di Newton-Raphson diventa:
x n+1 = x n − 2x n − cos(x n ) + 1
2 + sin(x n )
Partendo da x 0 = 0.5 e richiedendo una tolleranza pari a 10 −10 nei risultati (interrompiamo l’algoritmo
quando d n < 10 −10 ), si ha:
n x n d n
0 0.5
1 0.4730746270E-01 0.4526925E+00
2 0.5462695134E-03 0.4676119E-01
3 0.7458221874E-07 0.5461949E-03
4 0.1395426403E-14 0.7458222E-07
5 0.7647622253E-17 0.1387779E-14
I valori generati dall’algoritmo tendono a ξ = 0.
Considerando che f ′′ (x) = cos(x) possiamo valutare la costante asintotica M = |f ′′ (ξ)|
2|f ′ (ξ)|
|cos(ξ)|
2(|2 + sin(ξ)|) = 1 4 = 0.25
Da un punto di vista teorico, applicando il teorema del valor medio, si ha
=
f (ξ) − f (x n ) = f ′ (ξ n )(ξ − x n )
dove ξ n è un punto, che non conosciamo, compreso tra ξ e x n . Per x n vicino a ξ possiamo considerare
ξ n ≈ x n , da cui ricaviamo (essendo f (ξ) = 0):
−f (x n ) ≈ f ′ (x n )(ξ − x n )
. Sostituendo questa espressione nell’iterazione di Newton-Raphson si ha:
vale a dire
x n+1 = x n − f (x n)
f ′ (x n ) ≈ x n + (ξ − x n )
x n+1 − x n = ξ − x n cioè d n+1 = ɛ n
Ma in condizioni di convergenza, d n+1 < d n da cui, per l’errore, vale la maggiorazione ɛ n < d n .
Perciò gli scarti sono molto vicini agli errori e possono essere utilizzati sia per controllare il numero di
iterazioni da effettuare per approssimare la radice entro una certa tolleranza sia per approssimare M.
Nel nostro esempio
d 2
d 3
d 4
d 5
(d 1 ) 2 = 0.2282 (d 2 ) 2 = 0.2498 (d 3 ) 2 = 0.2500 (d 4 ) 2 = 0.2495
4.6 Complessità computazionale di uno schema
Un altro elemento da considerare per valutare l’efficienza numerica di uno schema iterativo è la sua complessità
computazionale. Un metodo, infatti, può avere un elevato ordine di convergenza ma avere anche un
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