Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4.5. Convergenza di un metodo iterativo
L’ultima relazione che abbiamo ottenuto ci dice che l’errore al passo n + 1 è proporzionale, secondo il
fattore A, al quadrato dell’errore al passo precedente. Perciò se partiamo da un errore iniziale dell’ordine
di 10 −2 , al passo successivo l’errore è proporzionale a 10 −4 e poi a 10 −8 fino a 10 −16 in tre sole iterazioni.
Generalmente, quindi, il numero delle cifre significative raddoppia ad ogni passo del metodo. Si parla di
convergenza quadratica.
Nel caso in cui ξ sia una radice multipla, allora f ′ (ξ) = 0 e A = ∞: se il metodo converge, la convergenza
non sarà più quadratica ma avremo una convergenza di tipo lineare, come vedremo meglio in seguito.
Se in ξ vi è un punto di flesso, non orizzontale, per cui f (ξ) = 0, f ′ (ξ) ≠ 0, f ′′ (ξ) = 0, allora A = 0 e ci
aspettiamo una convergenza superiore a quella quadratica.
Sulla
convergenza
4.5 Convergenza di un metodo iterativo
Un metodo iterativo si dice:
G linearmente convergente se esiste una costante M < 1 tale che, per n sufficientemente grande, vale
|x n+1 − ξ| ≤ M|x n − ξ|
G a convergenza quadratica se esiste una costante M tale che, per n sufficientemente grande, vale
|x n+1 − ξ| ≤ M|x n − ξ| 2
G a convergenza superlineare se esiste una successione di costanti M n → 0 tale che, per n
sufficientemente grande, vale
|x n+1 − ξ| ≤ M n |x n − ξ|.
In generale un metodo ha ordine di convergenza p se si possono definire due costanti p ≥ 1 e M > 0 tali
che
|x n+1 − ξ|
lim
n→∞ |x n − ξ| p = M
La costante M prende il nome di costante asintotica dell’errore o fattore di convergenza.
Nel caso del metodo di Newton-Raphson, generalmente vale p = 2 e la costante asintotica dell’errore è
quella che abbiamo definito come A presa in valore assoluto, cioè M =
f ′′ (ξ
∣
2f ′ (ξ)
∣ .
Nel metodo del punto fisso, la convergenza è lineare. Infatti, considerando l’errore cambiato di segno, la
relazione x n+1 = g (x n ) si può scrivere, in modo equivalente, come
ξ + ɛ n+1 = g (ξ + ɛ n ) e, applicando la formula (polinomiale) di Taylor si ha
ξ + ɛ n+1 = g (ξ) + ɛ n g ′ (ξ) + ...
ξ + ɛ n+1 = ξ + ɛ n g ′ (ξ) + ...
ɛ n+1 = ɛ n g ′ (ξ) + ... e, al limite per n → ∞
ɛ n+1 = g ′ (ξ)ɛ n
La costante asintotica per lo schema di punto fisso vale, dunque, M = |g ′ (ξ)|.
Il metodo delle bisezioni, invece, può essere visto come un metodo lineare, con M = 1 2 (considerando
che, ad ogni passo, si riduce della metà l’intervallo in cui viene cercata l’approssimazione della radice).
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