Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. ZERI DI FUNZIONE
Figura 4.5: Il metodo di Newton-Raphson applicato alla funzione f (x) = (x/2) 2 − sin(x) con x 0 = 1.3
Lo schema di Newton-Raphson si può vedere come un caso particolare dello schema del punto fisso applicato
alla funzione g (x) = x − f (x)/f ′ (x). Perchè lo schema del punto fisso converga, deve essere |g ′ (x)| < 1
in un intorno di ξ. Nel caso specifico abbiamo:
|g ′ (x)| = |1 − f ′ (x) 2 − f (x)f ′′ (x)
f ′ (x) 2 | = | f (x)f ′′ (x)
f ′ (x) 2 |
Supponendo f ′ (ξ) ≠ 0 (che è il caso in cui la radice non è multipla), si ha |g ′ (ξ)| = 0, poichè al numeratore
f (ξ) = 0 (essendo ξ radice della f ). Per continuità, allora, vale |g ′ (x)| < 1 in un intorno di ξ. Pertanto il
metodo di Newton-Raphson è generalmente convergente. Cosa vuol dire quel generalmente Vuol dire:
quasi sempre, tranne alcuni casi particolari (che vedremo in seguito).
Per vedere come si riduce l’errore via via che le approssimazioni si avvicinano a ξ, consideriamo l’errore
cambiato di segno ɛ n , per cui x n = ξ + ɛ n . Sostituendo in (4.2) abbiamo
ɛ n+1 + ξ = ɛ n + ξ − f (ξ + ɛ n)
f ′ (ξ + ɛ n )
ɛ n+1 = ɛ n − f (ξ + ɛ n)
f ′ (ξ + ɛ n )
Applicando la formula polinomiale di Taylor sia su f sia su f ′ di centro ξ, si ha:
ɛ n+1 = ɛ n − f (ξ) + ɛ n f ′ (ξ) + ɛ 2 n f ′′ (ξ)/2 + ...
f ′ (ξ) + ɛ n f ′′ (ξ) + ...
Poichè f (ξ) = 0, raccogliendo i termini si ricava:
ɛ n+1 = ɛ n f ′ (ξ) + ɛ 2 n f ′′ (ξ) − ɛ n f ′ (ξ) − ɛ 2 n f ′′ (ξ)/2 + ...
f ′ (ξ) + ɛ n f ′′ (ξ) + ...
= ɛ2 n f ′′ (ξ)/2 + ...
f ′ (ξ) + ɛ n f ′′ (ξ) + ...
Trascurando i termini ɛ n f ′′ (ξ)+... al denominatore e le potenze maggiori o uguali a ɛ 3 n al numeratore si trova:
ɛ n+1 = f ′′ (ξ)
2f ′ (ξ) ɛ2 n = Aɛ2 n
ponendo A = f ′′ (ξ)
2f ′ (ξ) .
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