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4.4. Il Metodo di Newton-Raphson
4.4 Il Metodo di Newton-Raphson
Il metodo di Newton-Raphson 1 è uno dei metodi più potenti e più famosi per risolvere equazioni non lineari.
Ci sono diversi approcci per introdurre questo metodo – tra questi c’è anche quello di vedere il metodo
di Newton-Raphson come un particolare schema di punto fisso, come vedremo in seguito.
Supponiamo ora che la derivata prima e seconda di f esistano e siano continue e assumiamo che la
derivata prima f ′ sia valutabile con sufficiente facilità.
Lo schema di Newton-Raphson è uno schema iterativo che produce una successione di approssimazioni
x 0 , x 1 ,..., x n della radice della funzione f .
Sia x n l’iterata corrente. Applicando la formula di Taylor di centro x n si ha:
f (x) = f (x n ) + f ′ (x n )(x − x n ) + f ′′ (ξ x )(x − x n ) 2 /2
dove ξ x è un punto (che non conosciamo) compreso tra x e x n .
Sia x = ξ, dove ξ è radice di f , f (ξ) = 0. Se f fosse lineare, avremmo f ′′ ≡ 0 e quindi potremmo trovare la
radice risolvendo direttamente
0 = f (ξ) = f (x n ) + f ′ (x n )(ξ − x n )
Supponendo f ′ (x n ) ≠ 0, otterremmo, con semplici passaggi,
ξ = x n − f (x n)
f ′ (x n )
In questo caso, partendo da un qualunque valore iniziale x 0 , in una sola iterazione otterremo il valore della
radice ξ.
Per una funzione non lineare, il discorso da fare è molto simile.
La nuova approssimazione x n+1 vogliamo che sia uguale al valore x n più una certa quantità h che ci
permetta di arrivare alla soluzione desiderata.
Applicando la formula di Taylor di centro x n , deve essere
f (x n+1 ) = f (x n + h) = f (x n ) + f ′ (x n )h + f ′′ (ξ h )h 2 /2
Vogliamo che sia f (x n+1 ) = 0, da cui, trascurando il termine in h 2 e considerando f ′ (x n ) ≠ 0, ricaviamo
h = − f (x n)
f ′ (x n )
Utilizziamo questo valore di h per la nuova approssimazione x n+1 = x n + h ottenendo la formula
x n+1 = x n − f (x n)
f ′ , n = 0,1,2,... (4.2)
(x n )
L’interpretazione geometrica del metodo di Newton è che x n+1 è l’intercetta, sull’asse delle x, della
tangente della f a x n (vedi figura 4.5).
1 Il metodo fu descritto da Isaac Newton in due suoi scritti del 1669 e del 1671, anche se era riferito solo a polinomi (in particolare a
x 3 − 2x − 5 = 0). Il metodo di Newton fu pubblicato per la prima volta nel 1685. Nel 1690 Joseph Raphson ne pubblicò una descrizione
semplificata in termini di approssimazioni successive x n piuttosto che di sequenze di polinomi. Fu solo nel 1740 che Thomas Simpson
descrisse il metodo di Newton come un metodo iterativo per risolvere equazioni non lineari (e non solo polinomi) e diede una versione
generalizzata per sistemi di due equazioni.
Isaac Newton (1643-1727), inglese, fu fisico, matematico, astronomo, alchimista, inventore, filosofo naturalista. È visto come uno dei
più grandi scienzati nella storia dell’umanità.
Su Joseph Raphson (1648-1715) non si hanno molti dettagli. Pare che Newton stesso gli permettesse di vedere e studiare i suoi scritti
matematici. Il suo lavoro del 1690 Analysis aequationum universalis gli valse l’ingresso nella Royal Society, nel 1691 benchè fosse uno
studente (si laureò nel 1692) piuttosto anziano (aveva 43 anni).
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