Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. ZERI DI FUNZIONE
commette approssimando ξ mediante x n . Vale infatti la disuguaglianza
|ξ − x n | ≤ m
1 − m |x n − x n−1 |
dove m, come prima, è una maggiorazione di |g ′ (x)|.
Proviamo questo risultato, scrivendo l’errore all’iterazione n come ξ − x n = g (ξ) −
g (x n−1 ) Applicando il teorema del valor medio e considerando, come prima, |g ′ (x)| ≤
m < 1 in un intorno del punto fisso, si ha:
|ξ − x n | ≤ m|ξ − x n−1 | (4.1)
Possiamo scrivere ξ − x n−1 nel modo seguente aggiungendo e sottraendo x n :
ξ − x n−1 = ξ − x n + x n − x n−1
ξ − x n−1 = g (ξ) − g (x n−1 ) + x n − x n−1
|ξ − x n−1 | ≤ m|ξ − x n−1 | + |x n − x n−1 |
(1 − m)|ξ − x n−1 | ≤ |x n − x n−1 |
|ξ − x n−1 | ≤ 1
1 − m |x n − x n−1 |
Andando a sostituire questa maggiorazione nella disuguaglianza (4.1), si ha
|ξ − x n | ≤ m
1 − m |x n − x n−1 |
Abbiamo una maggiorazione dell’errore che lega l’errore al passo n con il valore assoluto della differenza
tra due iterazioni successive |x n − x n−1 | (quest’ultima quantità prende il nome di scarto).
Generalmente, per vedere se il metodo di punto fisso converge al punto fisso entro una certa tolleranza
prestabilita, il controllo da fare è proprio sullo scarto d n = |x n − x n−1 |. Sfruttiamo questo fatto per vedere
come implementare l’algoritmo dello schema di punto fisso (sotto forma di pseudo-codice; per i dettagli
sull’implementazione in Fortran si vada a pag. ):
Dati di input: x 0 , tol ,i tmax
Dati di output: x n soluzione approssimata o messaggio di fallimento
1 n ←− 1 contatore delle iterazioni;
2 d n ←− 2tol (una quantità iniziale > tol ) ;
3 Fintantochè n ≤ i tmax e d n > tol
4 incrementa n di 1;
5 applicare l’algoritmo di punto fisso x n = g (x n−1 ) ;
6 aggiorna d n ;
7 Fine-Fintantochè
8 Se d n ≤ tol allora
9 x n è la soluzione approssimata
10 altrimenti
11 n > i tmax ;
12 il metodo è fallito dopo i tmax iterazioni ;
13 Fine-Se
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