Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4.3. Metodo del Punto Fisso
Figura 4.3: Il metodo di punto fisso: esempio con g (x) = x 2 . Si noti la convergenza monotona a ξ = 0 (a
sinistra) e la divergenza monotona da ξ = 1 (a destra)
Figura 4.4: Il metodo di punto fisso: esempio con g (x) = x − sin(x). ξ = 0 e ξ = 2π sono punti fissi attrattivi, al
contrario di ξ = π in cui g ′ (ξ) = g ′ (π) = 2
che, per questo esempio, i valori della successione si avvicinano a ξ muovendosi a destra e a sinistra rispetto
ad esso. Si parla di convergenza oscillante.
Nell’esempio 4.3.2, si devono intersecare due linee rette. Notiamo, anche dalla Figura 4.2 (a destra), che i
valori delle iterazioni si trovano tutti da un lato rispetto al punto fisso: si parla di convergenza monotona.
In generale, quando 0 ≤ g ′ (x) < 1 in un intorno del punto fisso, si ha convergenza monotona. Se, invece,
−1 < g ′ (x) < 0 in un intorno del punto fisso, si ha convergenza oscillante.
Analogamente, in Figura 4.3, si possono osservare le conclusioni già viste per l’esempio 4.3.3, in cui g (x) =
x 2 : si ha convergenza monotona verso ξ = 0 partendo da un punto iniziale in valore assoluto minore di uno,
e divergenza monotona a infinito, partendo da |x 0 | > 1.
Esempio
Esempio 4.3.4 Consideriamo ora g (x) = x − sin(x) nell’intervallo [0,2π]. Data la periodicità della funzione
seno, g ammette più di un punto fisso. Infatti da ξ = ξ − sin(ξ) si ha 0 = sin(ξ) da cui ξ = 0, ξ = π e
ξ = 2π.
Studiamo ora la derivata prima g ′ (x) = 1 − cos(x). Si ha g ′ (0) = 1 − 1 = 0, g ′ (π) = 1 − (−1) = 2 e g ′ (2π) =
1 − 1 = 0. Da queste informazioni, deduciamo che qualunque sia il punto iniziale x 0 la successione
generata dallo schema del punto fisso non potrà mai convergere a π, come si vede anche dalla Figura 4.4.
Nel caso in cui il metodo di punto fisso converge, si possono ricavare maggiorazioni per l’errore che si
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