Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. ZERI DI FUNZIONE
Figura 4.2: Il metodo di punto fisso: esempi con g (x) = cos(x) (a sinistra), e g (x) = 1 x + 2 (a destra)
2
La relazione appena trovata può essere semplificata, dividendo ambo i membri per |ξ − x 1 | · |ξ − x 2 | · ... ·
|ξ − x n−1 | ottenendo:
|ξ − x n | = |g ′ (ξ 0 )| · |g ′ (ξ 1 )| · |g ′ (ξ 2 )| · ·... · |g ′ (ξ n−1 )||ξ − x 0 |
Assumiamo, ora che |g ′ (x i )| ≤ m per i = 0,1,...,n − 1. Abbiamo dunque una relazione che lega l’errore
assoluto al passo n con l’errore assoluto iniziale.
|ξ − x n | ≤ m n |ξ − x 0 |
Perchè il metodo converga, l’errore deve tendere a zero per n che tende all’infinito. Se m < 1 è assicurata la
convergenza (quindi, se in un intorno del punto fisso, la derivata prima è minore di 1, lo schema converge).
Se invece m > 1 in un intorno del punto fisso, lo schema non può convergere al punto fisso.
Se vale m = 1 nulla si può dire a priori, ma bisogna vedere caso per caso cosa succede nell’intorno del
punto fisso. ✔
Negli esempi precedenti:
g (x) g ′ (x)
cos(x) −sin(x)
1
2 x + 2 1
2
x 2 2x
Nel primo caso (esempio 4.3.1) −sin(0.7390851332) = −0.673612, perciò in un intorno del punto fisso la
derivata è minore di 1 in valore assoluto e si ha convergenza.
Nell’esempio 4.3.2 g ′ (x) = 1 qualunque sia x: si ha convergenza.
2
Nel terzo caso (esempio 4.3.3), g ′ (x) = 2x da cui g ′ (0) = 0 e g ′ (1) = 2. In un intorno del primo punto fisso,
vale m < 1, in un intorno del secondo punto fisso m > 1 e non si potrà mai avere convergenza ad esso.
Il bacino di attrazione si ha quindi se vale m < 1.
Da un punto di vista grafico, le iterazioni dello schema di punto fisso si possono vedere sotto forma di
ragnatela. Le iterazioni, infatti, si muovono avanti e indietro tra il grafico della y = g (x) e il grafico della
bisettrice y = x. L’esempio 4.3.1, con g (x) = cos(x), è rappresentato in Figura 4.2 (a sinistra): partendo da
(x 0 , x 0 ) sulla retta y = x, applicando l’algoritmo si ha x 1 = g (x 0 ). Perciò:
G da (x 0 , x 0 ) si va su o giù fino a raggiungere (x 0 , x 1 ) sulla curva g ;
G da (x 0 , x 1 ) si arriva a (x 1 , x 1 ) sulla bisettrice y = x.
Questi due passi vengono ripetuti per tutte le altre iterazioni. Da x 1 si arriva sulla curva a g (x 1 ). Ora l’altezza
è x 2 . Da qui si va sulla bisettrice al punto (x 2 , x 2 ). E così via. Lo scopo delle iterazioni, infatti, è di arrivare al
punto (ξ,ξ) ≈ 0.7390851332 che è il punto di intersezione tra il grafico di g e la bisettrice y = x. Osserviamo
42