Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4.3. Metodo del Punto Fisso
Da un punto di vista geometrico, i grafici di y = x (bisettrice del primo e terzo quadrante) e di y = g (x) si
intersecano in ξ.
Tuttavia, non sempre questo schema iterativo, applicato a funzioni che ammettono uno o più punti fissi,
converge. Vediamo con un esempio.
Esempio
Esempio 4.3.3 Sia g (x) = x 2 . Analiticamente troviamo due punti fissi per questa funzione. Dovendo
essere ξ = ξ 2 , si ricava ξ 2 − ξ = 0, vale a dire ξ(ξ − 1) = 0: quindi ξ = 0 e ξ = 1 sono i due punti fissi per
questa funzione.
Partendo da x 0 = 0.5, si ha la successione di valori 0.25, 0.0625, 0.00390625, rapidamente il metodo
converge a ξ = 0
Se si prende come punto iniziale un valore x 0 ∈]−1,1[, la successione converge a ξ = 0. Le sole successioni
che convergono a ξ = 1 solo le ovvie successioni generate da x 0 = ±1. Se si prende come punto iniziale x 0
tale che |x 0 | > 1 allora lo schema iterativo x n+1 = x 2 n diverge a +∞. Partendo da x 0 = 2, si ha 4, 16, 256,
65536...
Questo esempio è significativo per capire come ciascun punto fisso ξ abbia un proprio bacino di attrazione:
se si prende x 0 in questo bacino, allora i valori x n tendono a ξ. Un punto fisso può dunque attirare o
respingere i valori x n prodotti dallo schema iterativo.
Prima di passare a studiare quando lo schema di punto fisso converge, ricordiamo che una funzione può
ammettere più di un punto fisso, ammetterne uno solo o non ammetterne affatto. Ci sono due teoremi (2.5.4
e 2.5.5) che ci dicono quando una funzione può ammettere punti fissi. Il primo assicura l’esistenza di almeno
un punto fisso (ciò vuol dire che vi possono essere più punti fissi) quando la funzione g , definita e continua
in [a,b], è tale che a ≤ g (x) ≤ b per ogni x ∈ [a,b]. Il secondo teorema aggiunge, a queste ipotesi, quelle che g
sia di classe C 1 e, inoltre, |g ′ (x)| ≤ m < 1 per ogni x ∈ [a,b]: in tal caso esiste un unico punto fisso.
È importante osservare che, data una funzione che ammette punto fisso, le ipotesi dei due teoremi 2.5.4
e 2.5.5 possono essere rilassate dall’intervallo [a,b] ad un intorno del punto fisso.
Possiamo ora provare un teorema di convergenza per lo schema iterativo del punto fisso.
Teorema 4.3.1 A partire da un punto iniziale x 0 , lo schema iterativo x n+1 = g (x n ) converge al punto fisso ξ di
g se |g ′ (x)| < 1 in un intorno di ξ.
Dimostrazione.
Dalle relazioni
ξ = g (ξ)
x n+1 = g (x n )
sottraendo membro a membro e, applicando il teorema del Valore Medio 2.5.2 (con ξ n un opportuno punto
del segmento che congiunge ξ a x n ), otteniamo:
ξ − x n+1 = g (ξ) − g (x n ) = g ′ (ξ n )(ξ − x n )
Possiamo scrivere questa relazione per n = 0,1,... ottenendo
ξ − x 1 = g ′ (ξ 0 )(ξ − x 0 )
ξ − x 2 = g ′ (ξ 1 )(ξ − x 1 )
ξ − x 3 = g ′ (ξ 2 )(ξ − x 2 )
. = . . .
ξ − x n = g ′ (ξ n−1 )(ξ − x n−1 )
Moltiplicando, ora, membro a membro e prendendo i valori assoluti, abbiamo:
|ξ − x 1 | · |ξ − x 2 | · ... · |ξ − x n | =
|g ′ (ξ 0 )| · |g ′ (ξ 1 )| · |g ′ (ξ 2 )| · ... · |g ′ (ξ n−1 )| · |ξ − x 0 | · |ξ − x 1 | · ... · |ξ − x n−1 |
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