Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. ZERI DI FUNZIONE
( x
) 2−sin(x) ( x
) 2−sin(x)+x
Ad esempio, da f (x) =
= 0, aggiungendo ad ambo i membri x, otteniamo = x
( 2
2
x
) 2
da cui poniamo g (x) = − sin(x) + x. Le radici della f coincidono con i punti fissi della g .
2
Definizione 4.3.1 Data una funzione g , si definisce punto fisso della g , quel punto
ξ che soddisfa la relazione g (ξ) = ξ
Una funzione può ammettere uno o più punti fissi o non ammetterne affatto.
Un modo per calcolare un punto fisso di una funzione g è dato da iterazioni successive sulla funzione g
stessa.
Esempio
Esempio 4.3.1 Supponiamo che la funzione g sia g (x) = cos(x). Prendiamo come valore iniziale x 0 =
1. Con una calcolatrice, andiamo a calcolare (in modalità radianti!) il suo coseno: ricaviamo x 1 =
cos(x 0 ) = g (x 0 ) = 0.54030230. Successivamente, calcoliamo il coseno di x 1 , ottenendo x 2 = cos(x 1 ) =
0.857553216. Osserviamo che x 2 = cos(x 1 ) = cos(cos(x 0 )) e non cos 2 (x 0 )! Abbiamo innescato, in questo
modo, un procedimento iterativo per cui x n+1 = cos(x n ) = g (x n ). Con la calcolatrice, basta digitare
sulla funzione cos ogni volta in modo da avere i nuovi valori della successione x n+1 . I primi numeri
che otteniamo non sono molto importanti. Quelli importanti sono quelli che si hanno dopo 15, 30 o 100
passi. Nel nostro caso, abbiamo
n x n
5 0.7013687746
11 0.7356047404
13 0.7414250866
14 0.7375068905
15 0.7401473356
29 0.7390893414
30 0.7390822985
56 0.7390851333
57 0.7390851332
58 0.7390851332
Perchè i valori di x tendono a 0.7390851332 Cosa ha di speciale questo numero È un punto fisso per la
funzione cos(x).
Esempio
Esempio 4.3.2 Consideriamo la funzione g (x) = 1 2 x + 2. Partendo da x 0 = 0 si ha
n x n
1 x 1 = 1 2 · 0 + 2 = 2
2 x 2 = 1 2 · 2 + 2 = 3
3 x 3 = 1 2 · 3 + 2 = 3.5
4 x 4 = 1 2 · 3.5 + 2 = 3.75
5 x 5 = 1 2 · 3.75 + 2 = 3.875
6 x 6 = 1 2 · 3.875 + 2 = 3.9375
I numeri 2, 3, 3.5, 3.75, 3.875, 3.9375 sembrano avvicinarsi a ξ = 4. Difatti, per valori crescenti di n, per
1
x n che tende a ξ, si ha, da una parte ξ = lim n→∞ x n+1 = lim n→∞
2 x n + 2 = 1 2 ξ + 2 da cui, ξ = 1 ξ + 2, cioè
2
ξ = 4.
Scopriamo quindi che se l’iterazione x n+1 = g (x n ) converge a ξ, ξ è punto fisso per la funzione g .
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