Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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4. ZERI DI FUNZIONE Per esempio, per calcolare 2 ≈ 1.41421356237310, sapendo che il valore che dobbiamo approssimare è compreso tra 1 e 2, possiamo partire da x 0 = 1.5, ottenendo: x 0 = 1.5 x 1 = 1 2 (1.5 + 2 1.5 ) = 1.41666667 x 2 = 1 2 (1.41666667 + 2 1.41666667 ) = 1.41421569 x 3 = 1 2 (1.41421569 + 2 1.41421569 ) = 1.41421356 Il metodo usato dai Babilonesi non è altro che il metodo di Newton-Raphson (che vedremo più avanti) per trovare gli zeri della funzione f (x) = x 2 − b. I metodi numerici discussi in questo Capitolo servono per trovare approssimazioni numeriche ad equazioni del tipo f (x) = 0. 4.2 Metodo delle Bisezioni Sia data una funzione f continua in un intervallo [a,b], con f (a) e f (b) che assumono valori di segno opposto. Allora, per il teorema del Valore Intermedio (si veda il Teorema 2.5.3 con K = 0), esiste almeno un punto ξ ∈]a,b[ tale che f (ξ) = 0. Assumiamo, per semplicità che ci sia una sola radice ξ nell’intervallo ]a,b[ (nel caso ci sia più di una radice, la procedura che ora descriviamo vale sempre, e ci permette di calcolare una di queste radici). Il metodo delle bisezioni (detto anche metodo dicotomico) si chiama così perchè, ad ogni passo, viene dimezzato l’intervallo precedente, cercando in tal modo di racchiudere la radice ξ in sottointervalli sempre più piccoli. G Si pone a 1 = a e b 1 = b. Si prende il punto medio dell’intervallo [a 1 ,b 1 ], c 1 = a 1 + b 1 . G Se f (c 1 ) = 0 allora abbiamo trovato la radice dell’equazione, altrimenti si va a controllare il segno di f (c 1 ). – Se f (c 1 ) e f (a 1 ) hanno lo stesso segno, allora ξ si trova nell’intervallo ]c 1 ,b 1 [ (applicando di nuovo il teorema del Valore Intermedio). In tal caso porremo a 2 = c 1 e b 2 = b 1 . – Se, invece, f (c 1 ) e f (b 1 ) hanno lo stesso segno, allora ξ si trova nell’intervallo ]a 1 ,c 1 [ In tal caso porremo a 2 = a 1 e b 2 = c 1 . G Riapplichiamo questa procedura appena descritta sul sottointervallo [a 2 ,b 2 ] G Fermiamo il procedimento ad una certa iterazione n, se f (c n ) = 0 o se l’ampiezza del sottointervallo è sufficientemente piccola, cioè b n − a n ≤ tol l dove tol l è una certa tolleranza prefissata. In tal caso 2 assumiamo c n come approssimazione della radice ξ. Osserviamo che, ad ogni passo, viene dimezzato l’intervallo in cui si trova la radice ξ, da cui |ξ − c n | ≤ b − a 2 n . Da questa relazione, si può determinare il numero di iterazioni n necessarie per calcolare un’approssimazione della radice ξ entro una certa tolleranza tol l richiesta. Infatti b − a 2 n ≤ tol =⇒ |ξ − c n | ≤ tol 2 Ma ( ) b − a b − a 2 n ≤ tol ⇐⇒ 2 n ≥ b − a log tol =⇒ n ≥ . tol log(2) L’algoritmo di bisezione può essere descritto nel modo seguente (sotto forma di pseudo-codice). Se il metodo non converge (perchè, ad esempio, la funzione che abbiamo scelto non assume segno opposto agli 38
4.3. Metodo del Punto Fisso Figura 4.1: Metodo delle Bisezioni estremi dell’intervallo), il procedimento iterativo potrebbe entrare in stallo (pensiamo ad un programma da fare eseguire al calcolatore) e quindi conviene introdurre un numero massimo di iterazioni, che viene indicato con itmax. Dati di input: a, b, tol , i tmax Dati di output: soluzione approssimata c o messaggio di fallimento 1 verificare che f (a)f (b) < 0, altrimenti non si può implementare il metodo ; 2 n ←− 1 ; 3 c ←− (a + b)/2 ; 4 scar to ←− |b − a|/2 ; 5 Fintantochè n ≤ i tmax e ( f (c) ≠ 0 e scar to > tol ) 6 n ←− n + 1 (incrementa n) ; 7 Se f (a)f (c) > 0 allora 8 a ←− c 9 altrimenti 10 b ←− c 11 Fine-Se 12 aggiorna c ; 13 aggiorna scar to ; 14 Fine-Fintantochè 15 Se f (c) = 0 o scar to ≤ tol allora 16 c è la soluzione approssimata 17 altrimenti 18 n > i tmax ; 19 il metodo è fallito dopo i tmax iterazioni ; 20 Fine-Se 4.3 Metodo del Punto Fisso Il problema f (x) = 0 può essere reso equivalente alla ricerca del punto fisso di una opportuna funzione g (vale a dire del problema g (x) = x). 39
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Bibliografia [1] ASCHER, U. M. e GR
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