Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. ZERI DI FUNZIONE
Per esempio, per calcolare 2 ≈ 1.41421356237310, sapendo che il valore che dobbiamo approssimare è
compreso tra 1 e 2, possiamo partire da x 0 = 1.5, ottenendo:
x 0 = 1.5
x 1 = 1 2 (1.5 + 2
1.5 ) = 1.41666667
x 2 = 1 2 (1.41666667 + 2
1.41666667 ) = 1.41421569
x 3 = 1 2 (1.41421569 + 2
1.41421569 ) = 1.41421356
Il metodo usato dai Babilonesi non è altro che il metodo di Newton-Raphson (che vedremo più avanti)
per trovare gli zeri della funzione f (x) = x 2 − b.
I metodi numerici discussi in questo Capitolo servono per trovare approssimazioni numeriche ad
equazioni del tipo f (x) = 0.
4.2 Metodo delle Bisezioni
Sia data una funzione f continua in un intervallo [a,b], con f (a) e f (b) che assumono valori di segno
opposto. Allora, per il teorema del Valore Intermedio (si veda il Teorema 2.5.3 con K = 0), esiste almeno un
punto ξ ∈]a,b[ tale che f (ξ) = 0.
Assumiamo, per semplicità che ci sia una sola radice ξ nell’intervallo ]a,b[ (nel caso ci sia più di una
radice, la procedura che ora descriviamo vale sempre, e ci permette di calcolare una di queste radici).
Il metodo delle bisezioni (detto anche metodo dicotomico) si chiama così perchè, ad ogni passo, viene
dimezzato l’intervallo precedente, cercando in tal modo di racchiudere la radice ξ in sottointervalli sempre
più piccoli.
G Si pone a 1 = a e b 1 = b. Si prende il punto medio dell’intervallo [a 1 ,b 1 ], c 1 = a 1 + b 1
.
G Se f (c 1 ) = 0 allora abbiamo trovato la radice dell’equazione, altrimenti si va a controllare il segno di
f (c 1 ).
– Se f (c 1 ) e f (a 1 ) hanno lo stesso segno, allora ξ si trova nell’intervallo ]c 1 ,b 1 [ (applicando di nuovo
il teorema del Valore Intermedio). In tal caso porremo a 2 = c 1 e b 2 = b 1 .
– Se, invece, f (c 1 ) e f (b 1 ) hanno lo stesso segno, allora ξ si trova nell’intervallo ]a 1 ,c 1 [ In tal caso
porremo a 2 = a 1 e b 2 = c 1 .
G Riapplichiamo questa procedura appena descritta sul sottointervallo [a 2 ,b 2 ]
G Fermiamo il procedimento ad una certa iterazione n, se f (c n ) = 0 o se l’ampiezza del sottointervallo
è sufficientemente piccola, cioè b n − a n
≤ tol l dove tol l è una certa tolleranza prefissata. In tal caso
2
assumiamo c n come approssimazione della radice ξ.
Osserviamo che, ad ogni passo, viene dimezzato l’intervallo in cui si trova la radice ξ, da cui
|ξ − c n | ≤ b − a
2 n .
Da questa relazione, si può determinare il numero di iterazioni n necessarie per calcolare un’approssimazione
della radice ξ entro una certa tolleranza tol l richiesta. Infatti
b − a
2 n ≤ tol =⇒ |ξ − c n | ≤ tol
2
Ma
( ) b − a
b − a
2 n ≤ tol ⇐⇒ 2 n ≥ b − a log
tol
=⇒ n ≥
.
tol
log(2)
L’algoritmo di bisezione può essere descritto nel modo seguente (sotto forma di pseudo-codice). Se il
metodo non converge (perchè, ad esempio, la funzione che abbiamo scelto non assume segno opposto agli
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