Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

CAPITOLO 4
Zeri di funzione
Non so come il mondo potrà
giudicarmi ma a me sembra
soltanto di essere un bambino che
gioca sulla spiaggia, e di essermi
divertito a trovare ogni tanto un
sasso o una conchiglia più bella del
solito, mentre l’oceano della verità
giaceva insondato davanti a me.
Isaac Newton
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Metodo delle Bisezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Metodo del Punto Fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Il Metodo di Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Convergenza di un metodo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6 Complessità computazionale di uno schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.7 Il metodo delle secanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.8 Confronto tra i metodi di Newton-Raphson e la Regula Falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.9 Metodo di Newton-Raphson per radici multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.10 Controllo sugli scarti e grafici di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.11 Osservazioni sull’ordine di convergenza di un metodo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1 Introduzione
Il problema di calcolare la radice quadrata di un numero è un problema molto antico. Già gli antichi
Babilonesi, intorno al 1700 a.C., se lo erano posto e avevano trovato la soluzione: per calcolare b, partivano
da un certo valore x che si avvicinava alla soluzione, dividevano b per questo numero, e facevano poi la
media, iterando il procedimento. L’algoritmo si può schematizzare nel modo seguente:
G partire da x 0 prossimo a b;
G considerare x 1 = 1 2 (x 0 + b x 0
);
G generalizzando: x n+1 = 1 2 (x n + b x n
).
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