Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...
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CAPITOLO 4<br />
Zeri <strong>di</strong> funzione<br />
Non so come il mondo potrà<br />
giu<strong>di</strong>carmi ma a me sembra<br />
soltanto <strong>di</strong> essere un bambino che<br />
gioca sulla spiaggia, e <strong>di</strong> essermi<br />
<strong>di</strong>vertito a trovare ogni tanto un<br />
sasso o una conchiglia più bella del<br />
solito, mentre l’oceano della verità<br />
giaceva insondato davanti a me.<br />
Isaac Newton<br />
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
4.2 Metodo delle Bisezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
4.3 Metodo del Punto Fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
4.4 Il Metodo <strong>di</strong> Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
4.5 Convergenza <strong>di</strong> un metodo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
4.6 Complessità computazionale <strong>di</strong> uno schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
4.7 Il metodo delle secanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
4.8 Confronto tra i meto<strong>di</strong> <strong>di</strong> Newton-Raphson e la Regula Falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
4.9 Metodo <strong>di</strong> Newton-Raphson per ra<strong>di</strong>ci multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
4.10 Controllo sugli scarti e grafici <strong>di</strong> convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
4.11 Osservazioni sull’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> convergenza <strong>di</strong> un metodo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
4.12 <strong>Esercizi</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
4.1 Introduzione<br />
Il problema <strong>di</strong> calcolare la ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> un numero è un problema molto antico. Già gli antichi<br />
Babilonesi, intorno al 1700 a.C., se lo erano posto e avevano trovato la soluzione: per calcolare b, partivano<br />
da un certo valore x che si avvicinava alla soluzione, <strong>di</strong>videvano b per questo numero, e facevano poi la<br />
me<strong>di</strong>a, iterando il proce<strong>di</strong>mento. L’algoritmo si può schematizzare nel modo seguente:<br />
G partire da x 0 prossimo a b;<br />
G considerare x 1 = 1 2 (x 0 + b x 0<br />
);<br />
G generalizzando: x n+1 = 1 2 (x n + b x n<br />
).<br />
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