Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATORE
indice di
condizionamento
piccole variazioni sui dati di ingresso del problema ci possono essere piccole o grandi variazioni sui dati di
uscita – si chiama indice di condizionamento (o numero di condizionamento) del problema.
Diamo la definizione nel caso in cui il nostro problema si possa identificare come una funzione f : R −→
R. Il valore y = f (x) è il valore di uscita del problema f . Vogliamo vedere cosa succede se il dato di ingresso
non è più x ma x + ∆x. ∆x rappresenta quindi una perturbazione sul dato iniziale. Assumiamo x ≠ 0, y ≠ 0.
Applichiamo la formula di Taylor di centro x. Si ha:
f (x + ∆x) = f (x) + f ′ (x)∆x +O(∆x 2 ) ≈ f (x) + f ′ (x)∆x
La variazione sul dato d’uscita è data dalla differenza f (x + ∆x) − f (x). Chiamiamo questa differenza con
∆y. Quindi ∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f ′ (x)∆x (utilizziamo il risultato ottenuto dalla formula di Taylor).
Se utilizziamo gli errori relativi, abbiamo (e sapendo che y = f (x)):
∆y
y
∆y
y
≈ f ′ (x)∆x
f (x)
Moltiplico poi numeratore e denominatore a secondo membro per x
≈ x f ′ (x) ∆x
f (x) x
Al limite per ∆x → 0, questa uguaglianza approssimata (abbiamo usato il simbolo ≈) diventa una vera
uguaglianza. Questo suggerisce di definire l’indice di condizionamento di f mediante la formula
(cond f )(x) =
x f ′ (x)
∣
f (x)
∣
Questo numero ci dice quanto grandi sono le perturbazioni relative per y confrontate con le relative
perturbazioni di x.
Per x = 0 e y ≠ 0, non ha senso considerare l’errore relativo ∆x , e si considera l’errore assoluto su x. In tal
x
caso, si definisce indice di condizionamento la quantità
(cond f )(x) =
f ′ (x)
∣
f (x)
∣
Per x = y = 0 si considera invece l’errore assoluto sia per x che per y, dimodochè l’indice di
condizionamento diventa
(cond f )(x) = |f ′ (x)|
Esempio
Esempio 3.7.3 Sia f (x) = x 1/α , con x > 0 e α > 0. Calcoliamo l’indice di condizionamento applicando
la formula (poichè abbiamo supposto x > 0, si ha f (x) ≠ 0). Risulta
∣ (cond f )(x) =
x f ′ ∣∣∣∣∣∣
(x)
x 1 ∣ ∣∣∣∣∣∣ ∣
f (x)
∣ = α x1/α−1
= 1 α
x 1/α
Per α grande, (cond f )(x) tende a zero, quindi abbiamo un problema bencondizionato. Se, invece α è
molto piccolo si ha un problema malcondizionato (se α = 10 −10 , si ha f (x) = x 1010 e (cond f )(x) = 10 10 ,
un valore molto grande).
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