Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3.7. Instabilità e malcondizionamento
Figura 3.5: Esempio: malcondizionamento
entro un livello di tolleranza dell’errore che sia accettabile.
3.7.2 Malcondizionamento
Definizione 3.7.2 Un problema si dice malcondizionato se a piccole variazioni nei dati di input del problema
corrispondono forti variazioni nei dati di output.
Quando il problema è molto sensibile alle variazioni dei dati di input, producendo risultati molto diversi tra
loro, allora nessun algoritmo, per quanto robusto e stabile, potrà dare una soluzione robusta al problema
stesso.
Esempio
Esempio 3.7.2 Il problema del calcolo delle radici di un polinomio p(x) di grado n è un esempio di
problema malcondizionato.
Sia p(x) = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 +...+a n x n . I dati di input del problema sono i coefficienti a 0 , a 1 ,..., a n . I dati
di output sono le radici del polinomio.
Si può provare che a piccole variazioni sui dati iniziali, corrispondono grandi variazioni sui risultati.
Vediamo il caso del polinomio p(x) = (x − 1)(x − 2)···(x − 10). Chiaramente, tale polinomio ha radici
1,2,...,10. Se perturbiamo il polinomio variando il coefficiente a 9 del valore di 0.00001, considerando
quindi il polinomio p(x) + 0.00001x 9 , le radici corrispondenti si discostano di poco da quelle del polinomio
di partenza, come si può notare in Figura 3.5. Ma se variamo il coefficiente a 9 del valore 0.0001,
considerando cioè il polinomio p(x) + 0.0001x 9 allora le radici corrispondenti a x 7 , x 8 , x 9 , x 10 non saranno
più reali ma avranno anche una parte immaginaria. La piccola variazione sui dati di ingresso,
quindi, provoca una grande variazione sui dati in uscita, proprio perchè il problema è malcondizionato.
Una quantità che misura il grado di sensibilità di un problema – fornendoci indicazioni sul fatto che a
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