Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATORE
Se invece, consideriamo y n−1 = 1
10 ( 1 n − y n), partendo da un valore di n molto grande e andando a
ritroso, l’errore diminuisce. Perciò, dato un valore di accuratezza ɛ > 0 e fissato un intero n 1 è possibile
determinare l’intero n 0 tale che, partendo da y n0 = 0 e andando a ritroso, gli integrali y n saranno
valutati con un errore in valore assoluto minore di ɛ per 0 < n ≤ n 1 . Infatti:
y n0 = 0
y n0 −1 = 1 1
10
n 0
y n0 −2 = 1
10 ( 1
n 0 − 1 − 1
10
. . .
y n =
1
) =
n 0
1
(−10) n 0−n n 0
+ cost ante n0 −n
1
(−10) 2 n 0
+ cost ante
L’errore al passo n dipende, quindi, (in valore assoluto) da
ɛ = 10 −6 , e fissiamo un valore n 1 , per calcolare n 0 dovrà essere
1
10 n 0−n 1
< ɛ cioè 10 n 1−n 0
< ɛ
Passando al logaritmo in base 10:
n 1 − n 0 < logɛ =⇒ n 0 > n 1 − logɛ
1
10 n 0−n
Fissato n 1 = 20 si ricava n 0 = 26.
Questa volta i calcoli danno gli stessi risultati sia in Matlab sia in Fortran:
n y n n y n
26 0.000000 11 7.62944e-3
25 3.84615e-3 10 8.32797e-3
24 3.61538e-3 9 9.16720e-3
23 3.80513e-3 8 1.01944e-2
22 3.96731e-3 7 1.14806e-2
21 4.14872e-3 6 1.31377e-2
20 4.34703e-3 5 1.53529e-2
19 4.56530e-3 4 1.84647e-2
18 4.80663e-3 3 2.31535e-2
17 5.07489e-3 2 3.10180e-2
16 5.37486e-3 1 4.68982e-2
15 5.71251e-3 0 9.53102e-2
14 6.09542e-3
13 6.53332e-3
12 7.03898e-3
Osserviamo come il valore y 0 coincida con il valore teorico noto.
. Se richiediamo una tolleranza
L’esempio appena visto ci porta a dare alcune considerazioni sui criteri su cui si deve basare un algoritmo:
un algoritmo deve essere accurato, efficiente e robusto, accurato nel senso che bisogna essere in grado
di sapere la grandezza dell’errore che si commette nell’algoritmo stesso; efficiente in termini di velocità di
esecuzione e di richiesta di spazio di memoria per le variabili utilizzate; robusto nel dare il risultato corretto
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