Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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INDICE 4.6 Complessità computazionale di uno schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.7 Il metodo delle secanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.8 Confronto tra i metodi di Newton-Raphson e la Regula Falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.9 Metodo di Newton-Raphson per radici multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.10 Controllo sugli scarti e grafici di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.11 Osservazioni sull’ordine di convergenza di un metodo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5 Interpolazione 61 5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2 Interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3 Interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.3.1 Funzioni base monomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.3.2 Polinomi di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.3.3 Formula dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.3.4 Differenze divise e formula di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.4 Considerazioni sull’interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.4.1 Fenomeno di Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.4.2 Malcondizionamento nell’interpolazione con funzioni base monomiali . . . . . . . . . 73 5.5 Interpolazione polinomiale a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.5.1 Interpolazione lineare a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.5.2 Interpolazione spline cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.5.3 Curve parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6 Approssimazione 85 6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 Retta di regressione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.3 Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.4 Approssimazioni di tipo esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7 Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari 93 7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.2 Elementi di Algebra Lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.3 Metodo di eliminazione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.3.1 Sostituzione all’indietro e in avanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.3.2 Eliminazione di Gauss: esempio particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3.3 Eliminazione di Gauss: caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.4 Strategie di pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.5 Fattorizzazione triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.5.1 Fattorizzazione LDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.5.2 Fattorizzazione di Gauss senza pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.5.3 Fattorizzazione di Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8 Metodi Iterativi per la soluzione di sistemi lineari 113 8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.2 Metodi iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 8.3 Norme di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 8.4 Norme di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.5 Autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.6 Metodi classici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 iv
Indice 8.6.1 Convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.6.2 Controllo della convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.6.3 I metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.6.4 Convergenza dei metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, rilassamento . . . . . . . . . . . . . . . 125 8.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 9 Problemi non lineari in più variabili 131 9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.2 Metodo di Newton per sistemi di equazioni in più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.3 Minimi quadrati non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10 Integrazione numerica 141 10.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.2 Formula dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 10.3 Formule di Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 10.3.1 Formula di Cavalieri-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.3.2 Sull’errore della formula di Cavalieri-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.4 Formule composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.4.1 Formula composta dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.4.2 Confronti tra la formula dei trapezi e di Cavalieri-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.5 Estrapolazione di Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.6 Approssimazione di Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.7 Introduzione alle formule di quadratura di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 10.7.1 Proprietà delle formule di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.7.2 Formule di Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.7.3 Altre formule di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 10.7.4 Applicazione delle formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10.7.5 Sulla funzione peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11 Differenziazione numerica ed equazioni alle derivate ordinarie 165 11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11.2 Differenziazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.3 Sulle equazioni differenziali ordinarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 11.4 Metodo di Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 11.5 Metodo di Eulero implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 11.6 Metodo di Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 11.7 Studio dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 11.8 Errori di troncamento locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.9 Convergenza e stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.9.1 Convergenza di Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11.9.2 Stabilità di Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11.9.3 Convergenza di Eulero implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11.9.4 Stabilità di Eulero implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11.9.5 Convergenza di Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11.9.6 Stabilità di Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 11.9.7 Sulla stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 11.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 12 Primi passi in MATLAB® 183 12.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 12.2 Avvio di MATLAB® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 12.2.1 Matrici e vettori in MATLAB® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 v
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Bibliografia [1] ASCHER, U. M. e GR
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