Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3.7. Instabilità e malcondizionamento
Esempio
Esempio 3.7.1 Consideriamo l’integrale
∫ 1
x n
y n =
0 x + 10 dx
per valori di n = 1,2,...,30. Osserviamo che, poichè x ∈ [0,1], la funzione integranda varia pure essa
nell’intervallo [0,1] per cui 0 < y n < 1.
Analiticamente, si ha:
∫ 1
x n + 10x n−1 ∫ 1
x n−1 (x + 10)
y n + 10y n−1 =
dx =
dx =
0 x + 10
0 x + 10
Vale anche la relazione
y 0 =
∫ 1
0
1
dx = ln(11) − ln(10).
x + 10
∫ 1
0
x n−1 dx = 1 n
Possiamo pensare, quindi, di calcolare numericamente il valore di y n attraverso il seguente algoritmo:
1. valutare y 0 = ln(11) − ln(10)
2. per n = 1,2,...,30 valutare y n = 1 n − 10y n−1
Questa formula ricorsiva darebbe l’esatto valore se non fossero presenti errori di arrotondamento che ci
allontanano completamente dalla soluzione vera. L’errore si moltiplica esponenzialmente. Infatti
y 1 = 1 − 10y 0
y 2 = 1 2 − 10(1 − 10y 0) = 1 2 − 10 + (−10)2 y 0
y 3 = 1 3 − 10( 1 2 − 10 + 102 y 0 ) = −10 3 y 0 + cost ante
. . . .
y n = (−10) n y 0 + cost ante n
L’algoritmo quindi, considerati gli errori di arrotondamento, presenta un errore E n con crescita di tipo
esponenziale. Difatti otteniamo valori che via via si allontanano dall’intervallo di ammissibilità [0,1].
I risultati che ricaviamo sono i seguenti (osserviamo che sono leggermente diversi a seconda dal
linguaggio usato, proprio per effetto dell’instabilità).
Da un programma in Fortran:
Da un programma Matlab:
n y n
0 9.5310e-2
1 4.6898e-2
2 3.1021e-2
3 2.3122e-2
4 1.8778e-2
... ....
7 -3.0229e-1
8 3.1479e+0
9 -3.1368e+1
10 3.1378e+2
18 3.1377e+10
27 -3.1377e+19
30 3.1377e+22
n y n
0 9.5310e-2
1 4.6898e-2
2 3.1018e-2
3 2.3154e-2
4 1.8465e-2
... ....
7 1.1481-2
8 1.0194e-2
9 9.1673e-3
10 8.3270e-3
18 -9.1694e+1
27 -9.1699e+9
30 -9.1699e+13
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