Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3.7. Instabilità e malcondizionamento
h errore
h
2 |f ′′ (x 0 )|
1.e-8 4.3611e-10 4.6602e-9
1.e-9 5.5947e-8 4.6602e-10
1.e-10 1.6697e-7 4.6602e-11
1.e-11 4.6603e-5 4.6602e-12
1.e-12 1.3006e-4 4.6602e-13
1.e-13 4.2505e-4 4.6602e-14
1.e-16 3.6236e-1 4.6602e-16
1.e-18 3.6236e-1 4.6602e-19
In Figura 3.4 vediamo come la curva dell’errore inizialmente segue la retta descritta dall’errore di discretizzazione
ma poi si allontana da essa. Perchè questo diverso comportamento per valori di h molto
piccoli Dobbiamo tenere presente che l’errore che noi valutiamo non è semplicemente l’errore di discretizzazione
ma la somma dell’errore di discretizzazione e dell’errore di arrotondamento! Per valori
di h grandi, l’errore di discretizzazione descresce al diminuire di h e domina sull’errore di arrotondamento.
Ma quando l’errore di discretizzazione diventa molto piccolo, per valori di h minori di 10 −8 ,
allora l’errore di arrotondamento inizia a dominare e ad aumentare sempre più al diminuire di h. Questo
è un motivo per cui si deve cercare di far prevalere l’errore di discretizzazione in un procedimento
numerico. Nell’errore di arrotondamento, per h via via più piccoli, si verifica un errore di cancellazione:
f (x 0 + h) è praticamente uguale a f (x 0 ) per h molto piccoli! per cui l’errore che calcoliamo è
|f ′ (x 0 ) − 0| = f ′ (x 0 ) = 0.3623577544....
Una strategia per evitare la cancellazione è di scrivere diversamente la differenza f (x 0 + h) −
f (x 0 ). Nel caso di f (x) = sin(x) ricorriamo alla formula trigonometrica per cui sin(φ) − sin(ψ) =
2cos( φ + ψ )sin( φ − ψ ).
2 2
Vediamo come migliorano le cose inserendo nel grafico 3.4 anche la curva dell’errore che otteniamo
utilizzando questa espressione trigonometrica. L’errore continua a diminuire anche quando la formula
precedente dà un errore crescente. Sempre in Figura 3.4, e in riferimento alla formula “non buona”,
abbiamo considerato la curva dell’errore di arrotondamento in modo da confrontare l’andamento effettivo
dell’errore con un limite superiore teorico dell’errore computazionale totale dato dalla somme
degli errori di discretizzazione e di arrotondamento. La rappresentazione di f (x) è affetta da errore per
cui avremo: f (x) = f ∗ (x) + e x . L’errore di arrotondamento è f (x 0 + h) − f (x 0 )
= f ∗ (x 0 + h) − f ∗ (x 0 )
+
h
h
e x0 +h − e x0
. Maggiorando e x con la precisione di macchina ɛ, l’errore di arrotondamento è dato da
h
2ɛ/h: per h piccoli è l’errore che predomina!
3.7 Instabilità e malcondizionamento
3.7.1 Instabilità
In generale è impossibile evitare un accumulo lineare degli errori di arrotondamento durante un calcolo,
ed è accettabile che ci sia una crescita lineare moderata, del tipo
E n ≈ c 0 nE 0
dove E n misura l’errore relativo dell’n-sima operazione dell’algoritmo 5 e c 0 sia una costante non molto
grande.
Se invece avviene una crescita di tipo esponenziale
E n ≈ c n 1 E 0
5 Per algoritmo intendiamo un procedimento di calcolo. Per una definizione più approfondita si veda pag. al Capitolo .
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