Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATORE
Esempio
Esempio 3.6.4 Consideriamo il problema di approssimare la derivata della funzione f (x) = sin x nel
punto x = 1.2.
Supponiamo di non poter valutare direttamente la derivata della f e di volerla approssimare applicando
la formula polinomiale di Taylor:
Allora
f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h f ′ (x 0 ) + h2
2 f ′′ (x 0 ) + h3
6 f ′′′ (x 0 ) + h4
24 f IV (x 0 ) + ...
f ′ (x 0 ) = f (x 0 + h) − f (x 0 )
− ( h h
2 f ′′ (x 0 ) + h2
6 f ′′′ (x 0 ) + h3
24 f IV (x 0 ) + ...)
Approssimiamo, quindi, la f ′ (x 0 ) calcolando f (x 0 + h) − f (x 0 )
.
h
L’errore, detto errore di discretizzazione, che si commette è
|f ′ (x 0 ) − f (x 0 + h) − f (x 0 )
| = | h h
2 f ′′ (x 0 ) + h2
6 f ′′′ (x 0 ) + h3
24 f IV (x 0 ) + ...|
Supponendo di conoscere il valore della derivata seconda in x 0 , per piccoli valori di h possiamo dare una
stima dell’errore di discretizzazione,
|f ′ (x 0 ) − f (x 0 + h) − f (x 0 )
| ≈ h h
2 |f ′′ (x 0 )|
Ci aspettiamo, anche senza conoscere il valore di f ′′ (x 0 ) (purchè diverso da 0) che l’errore di
discretizzazione diminuisca proporzionalmente con il passo h, al decrescere di h.
Nel nostro caso, in cui f (x) = sin(x), noi conosciamo il valore esatto della derivata in 1.2, cos(1.2) =
0.362357754476674... e possiamo dunque calcolare l’errore esatto che commettiamo approssimando la
derivata di sin x con la formula che abbiamo ricavato.
Per h = 0.1 non abbiamo un’approssimazione accurata. Ci aspettiamo che diminuendo il passo h l’errore
che commettiamo diminuisca.
Riportiamo gli errori della formula (in valore assoluto) e confrontiamoli con l’errore di discretizzazione
h
2 |f ′′ (x 0 )| (i conti sono fatti in singola precisione):
h errore
h
2 |f ′′ (x 0 )|
1.e-1 4.7167e-2 4.6602e-2
1.e-2 4.6662e-3 4.6602e-3
1.e-3 4.6608e-4 4.6602e-4
1.e-4 4.6603e-5 4.6602e-5
1.e-5 4.6602e-6 4.6602e-6
1.e-6 4.6597e-7 4.6602e-7
L’errore commesso dall’algoritmo decresce come h e, in particolare, come h 2 |f ′′ (1.2)| = 0.46602h.
Possiamo pensare di ottenere un’accuratezza grande quanto vogliamo a condizione di prendere valori di
h sempre più piccoli. In realtà, per valori di h molto piccoli, gli errori iniziano ad aumentare!
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